Тип 13 № 12001

Перенесём все члены в одну сторону: $$\cos x \cos 2x - \sqrt{2}\sin^2 x - \cos x = 0$$ $$\cos x (\cos 2x - 1) - \sqrt{2}\sin^2 x = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$\cos x (-2\sin^2 x) - \sqrt{2}\sin^2 x = 0$$ $$\sin^2 x (-2\cos x - \sqrt{2}) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$:

$$\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\pi, -\frac{5\pi}{4}, -2\pi$$

Ответ: а) $\pi k; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\pi, -\frac{5\pi}{4}, -2\pi$