Тип 13 № 12002

Используем формулу приведения: $$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$\sin 2x + 2\sin x = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}$$ $$2\sin x \cos x + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0$$ $$(2\sin x - \sqrt{3})(\cos x + 1) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\cos x = -1 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \pi + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

$$\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -\frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -\frac{5\pi}{3}$