Тип 13 № 12004

Используем формулу понижения степени для синуса: $$4\cdot\frac{1 - \cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right)}{2} + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ $$2 - 2\cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ $$-2\cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin 2x = -1$$

Раскроем косинус суммы: $$-2\left(\cos 2x \cos\frac{7\pi}{4} - \sin 2x \sin\frac{7\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin 2x = -1$$ Упростим тригонометрические функции: $$-2\left(\cos 2x \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin 2x \cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) + \sqrt{2}\sin 2x = -1$$ $$-\sqrt{2}\cos 2x - \sqrt{2}\sin 2x + \sqrt{2}\sin 2x = -1$$ $$-\sqrt{2}\cos 2x = -1$$ $$\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Решаем полученное уравнение: $$2x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{9\pi}{2}; 6\pi\right]$:

$$\frac{\pi}{8} + 5\pi = \frac{41\pi}{8}$$ $$-\frac{\pi}{8} + 6\pi = \frac{47\pi}{8}$$ $$-\frac{\pi}{8} + 5\pi = \frac{39\pi}{8}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{39\pi}{8}, \frac{41\pi}{8}, \frac{47\pi}{8}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{39\pi}{8}, \frac{41\pi}{8}, \frac{47\pi}{8}$