а)
1 − ctg 2 x = 1 − sin 2 x 1 - \ctg 2x = \frac{1}{-\sin 2x} 1 − ctg 2 x = − sin 2 x 1 1 − cos 2 x sin 2 x = − 1 sin 2 x 1 - \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = -\frac{1}{\sin 2x} 1 − sin 2 x cos 2 x = − sin 2 x 1 sin 2 x − cos 2 x + 1 sin 2 x = 0 ⇔ { sin 2 x − cos 2 x + 1 = 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ \frac{\sin 2x - \cos 2x + 1}{\sin 2x} = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
\sin 2x - \cos 2x + 1 = 0 \\
\sin 2x \neq 0
\end{cases} \Leftrightarrow sin 2 x sin 2 x − cos 2 x + 1 = 0 ⇔ { sin 2 x − cos 2 x + 1 = 0 sin 2 x = 0 ⇔ ⇔ { sin 2 x + 2 sin 2 x = 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ { 2 sin x ( cos x + sin x ) = 0 sin 2 x ≠ 0 ⇔ \Leftrightarrow \begin{cases}
\sin 2x + 2\sin^2x = 0 \\
\sin 2x \neq 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
2\sin x(\cos x + \sin x) = 0 \\
\sin 2x \neq 0
\end{cases} \Leftrightarrow ⇔ { sin 2 x + 2 sin 2 x = 0 sin 2 x = 0 ⇔ { 2 sin x ( cos x + sin x ) = 0 sin 2 x = 0 ⇔ ⇔ { [ sin x = 0 sin x + cos x = 0 sin 2 x ≠ 0 \Leftrightarrow \begin{cases}
\left[
\begin{aligned}
&\sin x = 0\\
&\sin x + \cos x = 0
\end{aligned}
\right.\\
\sin 2x \neq 0
\end{cases} ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ [ sin x = 0 sin x + cos x = 0 sin 2 x = 0 cos x ≠ 0 \cos x \neq 0 cos x = 0
{ [ sin x = 0 tg x = − 1 sin 2 x ≠ 0 \begin{cases}
\left[
\begin{aligned}
&\sin x = 0\\
&\tg x = -1
\end{aligned}
\right.\\
\sin 2x \neq 0
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ [ sin x = 0 tg x = − 1 sin 2 x = 0
{ [ sin x = 0 tg x = − 1 sin 2 x ≠ 0 ⇔ { [ x = π k x = − π 4 + π k , x ≠ π n 2 , k , n ∈ Z ⇒ x = − π 4 + π k , k ∈ Z \begin{cases}
\left[
\begin{aligned}
&\sin x = 0\\
&\tg x = -1
\end{aligned}
\right.\\
\sin 2x \neq 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
\left[
\begin{aligned}
& x = \pi k\\
& x = -\frac{\pi}{4} + \pi k,
\end{aligned}
\right.\\
x \neq \frac{\pi n}{2}
\end{cases}, k, n \in Z \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z ⎩ ⎨ ⎧ [ sin x = 0 tg x = − 1 sin 2 x = 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ [ x = π k x = − 4 π + π k , x = 2 π n , k , n ∈ Z ⇒ x = − 4 π + π k , k ∈ Z
б) Найдём корни на отрезке [ − 2 π ; − π 2 ] \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right] [ − 2 π ; − 2 π ]
− π 4 − π = − 5 π 4 -\frac{\pi}{4} - \pi = - \frac{5\pi}{4} − 4 π − π = − 4 5 π
Корни, принадлежащие отрезку:
− 5 π 4 - \frac{5\pi}{4} − 4 5 π
Ответ: а) − π 4 + π k , k ∈ Z ; -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z; − 4 π + π k , k ∈ Z ; б) − 5 π 4 - \frac{5\pi}{4} − 4 5 π
