Тип 13 № 12029

Преобразуем уравнение, используя формулу: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$

Подставим в исходное уравнение: $$8 \cdot (4^2)^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 63$$ $$8 \cdot 4^{2\sin^2 x} - 2 \cdot 4 \cdot 4^{-2\sin^2 x} = 63$$ $$8 \cdot 4^{2\sin^2 x} - 8 \cdot 4^{-2\sin^2 x} = 63$$

Сделаем замену $t = 4^{2\sin^2 x} > 0$: $$8t - \frac{8}{t} = 63 \text{ домножим на } t \neq 0$$ $$8t^2 - 63t - 8 = 0$$ $$D = 3969 + 256 = 4225$$ $$t = \frac{63 \pm 65}{16}$$ $$t = 8 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{8} < 0\quad \text{(не подходит)}$$

Обратная замена: $$4^{2\sin^2 x} = 8 \Leftrightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^3$$ $$4\sin^2 x = 3 \Leftrightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решения уравнения: $$x = \frac{\pi}{3} + \pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 5\pi = \frac{14\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{11\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}; \frac{14\pi}{3};$$

Ответ: а) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$

б) $\frac{11\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}; \frac{14\pi}{3};$