( ∗ ) sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ π k , k ∈ Z \left(*\right) \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pi k, k \in Z ( ∗ ) sin x = 0 ⇔ x = π k , k ∈ Z
Сделаем замену t = 1 sin x t = \frac{1}{\sin x} t = s i n x 1
Исходное уравнение примет вид:
t 2 + t − 2 = 0 t^2 + t - 2 = 0 t 2 + t − 2 = 0
Замечание: можно решить это уравнение с помощью Дискриминанта или теоремы Виета, но также можно заметить, что сумма коэффициентов равна 0, поэтому корни будут равны: t = 1 , t = c a t = 1, \quad t = \frac{c}{a} t = 1 , t = a c
[ t = 1 t = − 2 \left[\begin{array}{ll}
t = 1\\
t = -2
\end{array}\right. [ t = 1 t = − 2 [ 1 sin x = 1 1 sin x = − 2 ⇔ [ sin x = 1 sin x = − 1 2 ⇔ [ x = π 2 + 2 π k x = − π 6 + 2 π k x = − 5 π 6 + 2 π k , k ∈ Z \left[\begin{array}{ll}
\tfrac{1}{\sin x} = 1 \\\\
\tfrac{1}{\sin x} = -2
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}
\sin x = 1 \\
\sin x = -\frac{1}{2}
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}
x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\\\
x = -\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k\\\\
x = -\tfrac{5\pi}{6} + 2 \pi k
\end{array}\right., k \in Z s i n x 1 = 1 s i n x 1 = − 2 ⇔ [ sin x = 1 sin x = − 2 1 ⇔ x = 2 π + 2 π k x = − 6 π + 2 π k x = − 6 5 π + 2 π k , k ∈ Z
Ответ: π 2 + 2 π k ; − π 6 + 2 π k ; − 5 π 6 + 2 π k , k ∈ Z ; \frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z; 2 π + 2 π k ; − 6 π + 2 π k ; − 6 5 π + 2 π k , k ∈ Z ;