Тип 13 № 12031

Воспользуемся свойствами степеней:

$$\frac{9^x}{3} - \frac{8\cdot3^x}{3} + 5 = 0$$

Домножим на $3$ обе части уравнения:

$$9^x - 8\cdot3^x + 15 = 0 \Leftrightarrow 3^{2x} - 8\cdot3^x + 15 = 0$$

Сделаем замену $3^x = t > 0$

$$t^2 - 8t + 15 = 0$$ $$D = 64 - 60 = 4$$ $$\left[\begin{array}{cc} t = \frac{8 - 2}{2}\\ \\t = \frac{8 + 2}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} t = 3\\ t = 5 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 3^x = 3 \\ 3^x = 3^{\log_3{5}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \log_35 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $\left(1; \frac{7}{3}\right)$:

$1$ не включена в промежуток. Сравним числа $\frac{7}{3}$ и $\log_35$:

$$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} > 2 = \log_39 > \log_35$$

Ответ: а) $1; \log_35;$, б) $\log_35$