Показательные уравнения

Воспользуемся свойствами степеней:

$$\frac{9^x}{3} - \frac{8\cdot3^x}{3} + 5 = 0$$

Домножим на $3$ обе части уравнения:

$$9^x - 8\cdot3^x + 15 = 0 \Leftrightarrow 3^{2x} - 8\cdot3^x + 15 = 0$$

Сделаем замену $3^x = t > 0$

$$t^2 - 8t + 15 = 0$$ $$D = 64 - 60 = 4$$ $$\left[\begin{array}{cc} t = \frac{8 - 2}{2}\\ \\t = \frac{8 + 2}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} t = 3\\ t = 5 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 3^x = 3 \\ 3^x = 3^{\log_3{5}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \log_35 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $\left(1; \frac{7}{3}\right)$:

$1$ не включена в промежуток. Сравним числа $\frac{7}{3}$ и $\log_35$:

$$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} > 2 = \log_39 > \log_35$$

Ответ: а) $1; \log_35;$, б) $\log_35$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$4^x - 8\cdot2^x + 15 = 0 \Leftrightarrow (2^x)^2 - 8\cdot2^x + 15 = 0$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$:

$$t^2 - 8t + 15 = 0$$ $$D = 64 - 60 = 4$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{8 - 2}{2} = 3\\ t = \frac{8 + 2}{2} = 5 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^x = 3 \\ 2^x = 5 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \log_23 \\ x = \log_25 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $[2; \sqrt{10}]$:

Сравним числа: $$\log_23 < \log_24 = 2 < \log_25 < \log_28 = 3 < \sqrt{10}$$

Ответ: а) $\log_23; \log_25;$, б) $\log_25;$

Вынесем общий множитель:

$$4^{x^2 - 2x}(4^1 + 1) = 20 \Leftrightarrow 4^{x^2 - 2x}\cdot5 = 20$$

Сократим на 5:

$$4^{x^2 - 2x} = 4^1$$ $$x^2 - 2x = 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0$$ $$D = 4 + 4 = 8$$ $$\left[\begin{array}{l} x = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}\\ x = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $[-1; 2]$:

Сравним числа: $$-1 < 1 - \sqrt2 \Leftrightarrow -2 < -\sqrt2 \text{ верно}$$ $$1 - \sqrt2 < 2 \Leftrightarrow -\sqrt2 < 1 \text{ верно}$$ $$2 < 1 + \sqrt2 \Leftrightarrow 1 < \sqrt2 \text{ верно}$$ Значит, нам подходит только $x = 1 - \sqrt2$

Ответ: а) $1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2};$, б) $1-\sqrt{2};$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$4^{x^2 - 1} = (2^2)^{x^2 - 1} = 2^{2(x^2 - 1)}$$ $$2^{x^2 - 3} = \frac{2^{x^2 - 1}}{4}$$

Подставим в уравнение:

$$2^{2(x^2 - 1)} - 24\cdot\frac{2^{x^2 - 1}}{4} + 8 = 0$$ $$2^{2(x^2 - 1)} - 6\cdot2^{x^2 - 1} + 8 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^{x^2 - 1} > 0$:

$$t^2 - 6t + 8 = 0$$ $$D = 36 - 32 = 4$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{6 - 2}{2} = 2\\ t = \frac{6 + 2}{2} = 4 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^{x^2 - 1} = 2^1 \\ 2^{x^2 - 1} = 2^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 - 1 = 1 \\ x^2 - 1 = 2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 = 2 \\ x^2 = 3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm\sqrt{2} \\ x = \pm\sqrt{3} \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5}{3}; 2\right]$:

Сравним числа:

$$-\sqrt3 < -\frac{5}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt3 > 5 \Leftrightarrow 27 > 25 \text{ верно}$$ $$-\frac{5}{3} < -\sqrt2 \Leftrightarrow 5 > 3\sqrt2 \Leftrightarrow 25 > 18 \text{ верно}$$ $$-\sqrt2 < \sqrt2 < \sqrt3 < 2 \text{ верно}$$

Нам подходят корни: $-\sqrt2; \sqrt2; \sqrt3;$

Ответ: а) $-\sqrt{3}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3};$, б) $-\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3};$

Представим последнее слагаемое в виде: $$-48\cdot4^{x^2 - 3x} = -12\cdot4^{x^2 - 3x + 1}$$ Теперь уравнение принимает вид: $$7\cdot9^{x^2 -3x + 1} + 5\cdot6^{x^2 - 3x + 1} -12\cdot4^{x^2 - 3x + 1} = 0$$ Разделим все слагаемые на $4^{x^2 - 3x + 1}$ (так как $4^{x^2 - 3x + 1} > 0$): $$7\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{x^2 -3x + 1} + 5\cdot\left(\frac{6}{4}\right)^{x^2 - 3x + 1} -12 = 0$$ $$7\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2(x^2 -3x + 1)} + 5\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{x^2 - 3x + 1} -12 = 0$$ Сделаем замену $t = \left(\frac{3}{2}\right)^{x^2 - 3x + 1} > 0$: $$7t^2 + 5t - 12 = 0$$ $$D = 25 + 336 = 361$$ $$t = \frac{-5 \pm \sqrt{361}}{14}$$ $$t = \frac{-5 - 19}{14} = -\frac{24}{14} = -\frac{12}{7} \quad \text{(не подходит, так как \(t > 0\))}$$ $$t = \frac{-5 + 19}{14} = \frac{14}{14} = 1$$

Обратная замена: $$\left(\frac{3}{2}\right)^{x^2 - 3x + 1} = 1 \Leftrightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^{x^2 - 3x + 1} = \left(\frac{3}{2}\right)^0$$ $$x^2 - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[-1; 2]$:

$$-1 \leq \frac{3 - \sqrt5}{2} \leq 2 \Leftrightarrow-5 \leq -\sqrt5 \leq 1 \text{ верно}$$ $$-1 \leq \frac{3 + \sqrt5}{2} \leq 2 \Leftrightarrow \leq 2 \Leftrightarrow-5 \leq \sqrt5 \leq 1 \text{ неверно}$$

Ответ: а) $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2};$ б) $\frac{3 - \sqrt{5}}{2};$