Тип 13 № 12032

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$4^x - 8\cdot2^x + 15 = 0 \Leftrightarrow (2^x)^2 - 8\cdot2^x + 15 = 0$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$:

$$t^2 - 8t + 15 = 0$$ $$D = 64 - 60 = 4$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{8 - 2}{2} = 3\\ t = \frac{8 + 2}{2} = 5 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^x = 3 \\ 2^x = 5 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \log_23 \\ x = \log_25 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $[2; \sqrt{10}]$:

Сравним числа: $$\log_23 < \log_24 = 2 < \log_25 < \log_28 = 3 < \sqrt{10}$$

Ответ: а) $\log_23; \log_25;$, б) $\log_25;$