Тип 13 № 12034

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$4^{x^2 - 1} = (2^2)^{x^2 - 1} = 2^{2(x^2 - 1)}$$ $$2^{x^2 - 3} = \frac{2^{x^2 - 1}}{4}$$

Подставим в уравнение:

$$2^{2(x^2 - 1)} - 24\cdot\frac{2^{x^2 - 1}}{4} + 8 = 0$$ $$2^{2(x^2 - 1)} - 6\cdot2^{x^2 - 1} + 8 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^{x^2 - 1} > 0$:

$$t^2 - 6t + 8 = 0$$ $$D = 36 - 32 = 4$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{6 - 2}{2} = 2\\ t = \frac{6 + 2}{2} = 4 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^{x^2 - 1} = 2^1 \\ 2^{x^2 - 1} = 2^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 - 1 = 1 \\ x^2 - 1 = 2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 = 2 \\ x^2 = 3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm\sqrt{2} \\ x = \pm\sqrt{3} \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5}{3}; 2\right]$:

Сравним числа:

$$-\sqrt3 < -\frac{5}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt3 > 5 \Leftrightarrow 27 > 25 \text{ верно}$$ $$-\frac{5}{3} < -\sqrt2 \Leftrightarrow 5 > 3\sqrt2 \Leftrightarrow 25 > 18 \text{ верно}$$ $$-\sqrt2 < \sqrt2 < \sqrt3 < 2 \text{ верно}$$

Нам подходят корни: $-\sqrt2; \sqrt2; \sqrt3;$

Ответ: а) $-\sqrt{3}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3};$, б) $-\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3};$