Тип 13 № 12036

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$3\cdot3^{2x + 2} - 30\cdot6^x + 8\cdot4^x = 0$$ Разделим все слагаемые на $4^x$ (так как $4^x > 0$):

$$3\cdot3^{2x + 2} \cdot4^{-x} - 30\cdot6^x \cdot4^{-x} + 8 = 0$$ $$3\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^x \cdot9 - 30\cdot\left(\frac{6}{4}\right)^x + 8 = 0$$ $$27\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^x - 30\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^x + 8 = 0$$

Сделаем замену $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0$:

$$27t^2 - 30t + 8 = 0$$ $$D = 900 - 864 = 36$$ $$t = \frac{30 \pm 6}{54}$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}\\ \\ t = \frac{24}{54} = \frac{4}{9} \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{2}{3} \\ \\ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{4}{9} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \\ \\ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ x = -2 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$:

$$-\frac{\pi}{2} \leq -1 \leq \pi \Leftrightarrow -\pi \leq -2 \leq 2\pi \text{ верно}$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq -2 \leq \pi \Leftrightarrow -\pi \leq -4 \leq 2\pi \text{ неверно}$$

Нам подходит только $x = -1$, так как $-2$ не входит в отрезок.

Ответ: а) $-2; -1;$, б) $-1;$