Тип 13 № 12038

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$(2^3)^x - 7\cdot(2^2)^x - 2^{x+4} + 112 = 0$$ $$2^{3x} - 7\cdot2^{2x} - 16\cdot2^x + 112 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^x > 0$:

$$t^3 -7t^2 -16t + 112 = 0 \Leftrightarrow t^2(t - 7) - 16(t - 7) = 0$$ $$(t^2 - 16)(t - 7) = 0 \Leftrightarrow (t - 4)(t + 4)(t - 7) = 0$$

$$\left[\begin{array}{l} t = 7 \\ t = -4 \quad \text{(не подходит, так как \(t > 0\))}\\ t = 4 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^x = 4 \\ 2^x = 7 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \log_27 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $\left[\log_25; \log_211\right]$:

$$2 = \log_24 < \log_25 < \log_27 < \log_211$$

Ответ: а) $2; \log_27;$ б) $\log_27;$