Тип 13 № 12039

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$(2^3)^x - 10\cdot2^x + \frac{16}{2^x} = 0$$ $$2^{3x} -10\cdot2^x + 16\cdot2^{-x} = 0$$

Умножим обе части на $2^x$ (так как $2^x > 0$):

$$2^{4x} -10\cdot2^{2x} + 16 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^{2x} > 0$:

$$t^2 -10t + 16 = 0$$ $$D = 100 - 64 = 36$$ $$t = \frac{10 \pm 6}{2}$$ $$\left[\begin{array}{l} t = 8 \\ t = 2 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^{2x} = 8 \\ 2^{2x} = 2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2^{2x} = 2^3 \\ 2^{2x} = 2^1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} \\ \\ x = \frac{1}{2} \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_52; \log_510\right]$:

$$\log_52 < \log_5\sqrt5 = \frac{1}{2} < \log_510 = \log_5{2\cdot5} = \log_52 + 1 \text{ верно}$$ $$\log_510 < \frac{3}{2} = \log_55^{3/2} = \log_55\sqrt5\Leftrightarrow 10 < 5\sqrt5 \text{ верно}$$

Ответ: а) $\frac{1}{2}; \frac{3}{2};$, б) $\frac{1}{2}$