Тип 13 № 12041

Представим $15$ как $3\cdot5$ и сократим одинаковые множители: $$(3\cdot5)^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot5^{\sin x}$$ $$3^{\cos x}\cdot5^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot5^{\sin x}$$ Так как $3^{\cos x}>0$, разделим на $3^{\cos x}$: $$5^{\cos x}=5^{\sin x} \Leftrightarrow \cos x=\sin x \;\;\Leftrightarrow\;\; \tan x=1 \;\;\Rightarrow\;\; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[5\pi; \tfrac{13\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{4}+5\pi=\frac{21\pi}{4},\qquad \frac{\pi}{4}+6\pi=\frac{25\pi}{4}.$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{21\pi}{4},\;\frac{25\pi}{4}.$$

Ответ: а) $x=\tfrac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$    б) $\tfrac{21\pi}{4},\; \tfrac{25\pi}{4}$.