Тип 2 № 12572

Выразим косинус угла между векторами через формулу скалярного произведения: $$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt5} = \frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|} = \frac{4\cdot x_b + 0\cdot y_a}{|\vec a|\cdot |\vec b|} = \frac{4\cdot x_b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}$$

Найдём длины векторов: $$|\vec a| = \sqrt{4^2 + y_a^2}$$ $$|\vec b| = \sqrt{x_b^2 + 0} = |x_b|$$

Подставим в формулу: $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot |x_b|}$$

Рассмотрим два случая раскрытия $|x_b|$: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x_b > 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} (1) \end{cases}\\ &\begin{cases} x_b \leq 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{-\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b}(2) \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Решим уравнение (1): $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt5} = \frac{2}{\sqrt{4^2 + y_a^2}} \Leftrightarrow \sqrt{4^2 + y_a^2} = 2\sqrt5$$ $$16 + y_a^2 = 20 \Leftrightarrow y_a^2 = 4 \Leftrightarrow y_a = \pm 2$$

Решим уравнение (2): $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{-\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} \Leftrightarrow \sqrt{16 + y_a^2} = -2\sqrt5 \Rightarrow y_a \in \varnothing$$

В итоге получаем два значения $y_a = \pm 2$. Наибольшее из них: $y_a = 2$.