Координаты вектора

Введём обозначение: $\vec d = \vec a + \vec b$. Найдём координаты $\vec d$: $$\vec d = (-1 + 4; 3 + 1) = (3; 4)$$ Скалярное произведение векторов представляет собой сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Тогда по условию: $$\vec d \cdot \vec c = 0 \Leftrightarrow 3\cdot2 + 4\cdot c_0 = 0 \Leftrightarrow c_0 = -\frac{6}{4} = -1,5$$

Выразим косинус угла между векторами через формулу скалярного произведения: $$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt5} = \frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|} = \frac{4\cdot x_b + 0\cdot y_a}{|\vec a|\cdot |\vec b|} = \frac{4\cdot x_b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}$$

Найдём длины векторов: $$|\vec a| = \sqrt{4^2 + y_a^2}$$ $$|\vec b| = \sqrt{x_b^2 + 0} = |x_b|$$

Подставим в формулу: $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot |x_b|}$$

Рассмотрим два случая раскрытия $|x_b|$: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x_b > 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} (1) \end{cases}\\ &\begin{cases} x_b \leq 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{-\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b}(2) \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Решим уравнение (1): $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt5} = \frac{2}{\sqrt{4^2 + y_a^2}} \Leftrightarrow \sqrt{4^2 + y_a^2} = 2\sqrt5$$ $$16 + y_a^2 = 20 \Leftrightarrow y_a^2 = 4 \Leftrightarrow y_a = \pm 2$$

Решим уравнение (2): $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{-\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} \Leftrightarrow \sqrt{16 + y_a^2} = -2\sqrt5 \Rightarrow y_a \in \varnothing$$

В итоге получаем два значения $y_a = \pm 2$. Наибольшее из них: $y_a = 2$.

Пусть $\vec d = 2\vec a - 3\vec b$. Найдём координаты $\vec d$ как сумму соответствующих координат: $$\vec d = (2 \cdot 4 - 3 \cdot (-4); \ 2 \cdot (-2) - 3 \cdot (-3)) = (8 + 12; \ -4 + 9) = (20; \ 5)$$

Найдём сумму координат $x$ и $y$ вектора $\vec d$: $$x + y = 20 + 5 = 25$$

Найдём длину вектора $\vec a$: $$|\vec a| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

Длина вектора $\vec b$ равна: $$|\vec b| = \sqrt{(-3)^2 + b_0^2} = \sqrt{9 + b_0^2}$$

По условию $|\vec b| = 1,5|\vec a|$, получаем уравнение: $$\sqrt{9 + b_0^2} = 1,5\sqrt{13}$$

Возведём обе части уравнения в квадрат: $$9 + b_0^2 = 2,25 \cdot 13$$ $$9 + b_0^2 = 29,25$$ $$b_0^2 = 29,25 - 9$$ $$b_0^2 = 20,25$$ $$b_0 = \pm \sqrt{20,25} = \pm 4,5$$

Меньшее из значений: $-4,5$.

Найдём длину вектора $\vec a$: $$|\vec a| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Так как векторы $\vec c$ и $\vec b$ сонаправленные, то $\vec c = k\vec b$, где $k > 0$.

Длина вектора $\vec c$ равна: $$|\vec c| = |k| \cdot |\vec b| = k \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2} = k \cdot \sqrt{4 + 1} = k\sqrt{5}$$

По условию $|\vec c| = |\vec a|$, получаем: $$k\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$ $$k = 2$$

Найдём координаты вектора $\vec c$: $$\vec c = 2\vec b = 2 \cdot (2; -1) = (4; -2)$$

Найдём сумму координат: $$x_c + y_c = 4 + (-2) = 2$$