Задание 16: Оптимизация — ЕГЭ по математике

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1  кг алюминия или 0,1  кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $х^2$ человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1  кг алюминия можно заменить 1  кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

Источник: БАНК ЕГЭ

Решение:

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов.

Тогда в первой области на добычу алюминия затратили:

$160\cdot 5=800~чел-ч$

Тогда алюминия смогут добыть:

$800\cdot 0,1=80~кг$

Пусть во второй области алюминий добывали $y$ человек, тогда никель $160-y$ .

Значит, во второй области затратили на добычу алюминия $5y$ чел-ч, а никеля $5(160-y)$ чел-ч.

Так как для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда, значит, алюминий смогли добыть $\sqrt{5y}$ , а никеля $\sqrt{5(160-y)}$ .

Нам необходимо, чтобы добыли как можно больше металла. То есть:

$f(y)=80+\sqrt{5у}+\sqrt{5(160-y)}\\ f(y)=80+\sqrt{5y}+\sqrt{800-5y}$

Чтобы найти наибольшее количество, необходимо найти производную:

$f'(y)=\frac{5}{2\sqrt{5y}}-\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}\\ \frac{5}{2\sqrt{5y}}-\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}=0\\ \frac{5}{2\sqrt{5y}}=\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}\\ \sqrt{5y}=\sqrt{800-5y}\\ 5y=800-5y\\ 10y=800\\ y=80 - экстремум$

Значит при $y=80$ , добыча металла будет наибольшей.

$f(80)=80+\sqrt{5\cdot 80}+\sqrt{800-5\cdot 80}=80+20+20=120$

Значит наибольшую массу металлов, которую можно за сутки суммарно добыть в двух областях, это $120$ кг.

Ответ: 120 кг