Оптимизация

Пусть в $1$ классе $y$ мальчиков, тогда во $2$ классе будет $23-y$ мальчиков.

Процент мальчиков в $1$ классе:

$$\frac{y}{22}\cdot 100\%$$

Процент мальчиков во $2$ классе:

$$\frac{23-y}{21}\cdot 100\%$$

$(\frac{y}{22}+\frac{23-y}{21})\cdot 100\%$ должно быть наибольшим

$$100\%\cdot \frac{21y+22\cdot 23-22y}{22\cdot 21}=100\%\cdot \frac{22\cdot 23-y}{22\cdot 21}$$

является убывающей линейной функцией ($y$ - наименьшее)

Пусть $y=0$, тогда во $2$ классе $23$ мальчика, но во $2$ классе всего $21$ человек, значит, противоречие.

Пусть $y=1$, тогда в $1$ классе $2$ мальчика, а во $2$ классе $21$.

Значит, распределение должно быть таким, чтобы в $1$ классе $2$ мальчика и $20$ девочек, а во $2$ классе $21$.

Ответ: в 1 классе 2 мальчика и 20 девочек, а во 2 классе 21.

На втором поле урожайность свеклы выше, значит выгодно выращивать ее. На первом поле лучше растет картошка, но она стоит дешевле.

Пусть $x$ гектар выделено на $1$ поле для выращивания картошки, тогда для свеклы $10-x$. Тогда картошки получим $400x$, а свеклы $300(10-x)$. Выручка на первом поле составит $400x\cdot 10$ (за картофель) и $300(10-x)\cdot 11$ (за свеклу).

Составим функцию дохода: $$y=400x\cdot 10+300(10-x)\cdot 11+400\cdot 10\cdot 11\\ y=4000x+33000-3300x+44000\\ y=700x+77000$$ Линейная возрастающая функция: Необходимо наибольшее значение при наибольшем $x$. Значит, $x=10$.

Доход тогда составит: $$7000+77000=84000~тыс. руб.$$ Ответ: 84000

Необходимо, чтобы з.п. была наименьшей

Если $t$ человек отправили на $1$ объект, значит, $24-t$ человек на второй объект. Если $t$ человек отправили на $1$ объект, значит, з.п. $4t^2$. Если $t$ человек отправили на $1$ объект, значит, з.п. $(24-t)^2$.

Составим функцию всей суточной з.п.: $$y=4t^2+(24-t)^2\\ y=5t^2+24^2-48х$$ Функция является параболой с ветвями вверх, но необходимо, чтобы з.п. была наименьшей. Значит, наименьшее значение будет в вершине параболы. $$t =\frac{-b}{2a}=\frac{48}{10}=4,8$$ Тогда $t=4$ или $t=5$ $$y(4)=80-192+24^2=464\\ y(5)=125-240+24^2=461$$ Значит $t=5$, то есть на $1$ объекте $5$ человек, а на $2$ объекте $24-5=19$ человек.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у. е.

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов.

Тогда в первой области на добычу алюминия затратили:

$$160\cdot 5=800~чел-ч$$

Тогда алюминия смогут добыть:

$$800\cdot 0,1=80~кг$$

Пусть во второй области алюминий добывали $y$ человек, тогда никель $160-y$.

Значит, во второй области затратили на добычу алюминия $5y$ чел-ч, а никеля $5(160-y)$ чел-ч.

Так как для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда, значит, алюминий смогли добыть $\sqrt{5y}$, а никеля $\sqrt{5(160-y)}$.

Нам необходимо, чтобы добыли как можно больше металла. То есть:

$$f(y)=80+\sqrt{5у}+\sqrt{5(160-y)}\\ f(y)=80+\sqrt{5y}+\sqrt{800-5y}$$

Чтобы найти наибольшее количество, необходимо найти производную:

$$f'(y)=\frac{5}{2\sqrt{5y}}-\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}\\ \frac{5}{2\sqrt{5y}}-\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}=0\\ \frac{5}{2\sqrt{5y}}=\frac{5}{2\sqrt{800-5y}}\\ \sqrt{5y}=\sqrt{800-5y}\\ 5y=800-5y\\ 10y=800\\ y=80 - экстремум$$

Значит при $y=80$, добыча металла будет наибольшей.

$$f(80)=80+\sqrt{5\cdot 80}+\sqrt{800-5\cdot 80}=80+20+20=120$$

Значит наибольшую массу металлов, которую можно за сутки суммарно добыть в двух областях, это $120$ кг.

Ответ: 120 кг

Пусть $x$ товаров произвели на первом заводе, тогда во втором заводе будет $70-x$.

На первом заводе будет $x^2$ часов, а втором заводе $(70-x)^2$ часов.

В соответствии с затраченным временем, на первом заводе Борис потратит:

$$500 x^2,$$

на втором заводе:

$$200(70-x)^2$$

Необходимо произвести как можно больше товаров.

Значит Борис потратит на оплату труда рабочих:

$$y=500x^2+200(70-x)^2\\ y=500x^2+200(4900-140x+x^2)\\ y=500x^2+200x^2+980000-28000x\\ y=700x^2-28000x+980000$$

Так как необходимо, чтобы Борис потратил как можно меньше, а функция является квадратичной, график которой парабола с ветвями вверх, значит наименьшее значение в вершине:

$$x=\frac{28000}{2\cdot 700}=20$$

Значит, наименьшей суммой, которую Борис будет тратить на оплату труда:

$$y(20)=500\cdot 400+200\cdot 2500=200000+500000=700000~руб$$

Ответ: 700000