Задание 16: Таблицы платежей — ЕГЭ по математике

1 февраля 2018 года планируется взять кредит на сумму 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

— 1 марта каждого года сумма долга увеличивается на 2% по сравнению с началом года;

— с 1 мая по 1 августа необходимо выплатить часть долга;

— 1 февраля каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей.

Начиная с 2018 года долг уменьшался равномерно на 15 тысяч рублей, а начиная с (2018 + n) -го по (2018 + 2n) -й год, долг уменьшался равномерно на x тысяч рублей. В каком году планируется совершить последний платеж, если общая сумма выплат равна 1 346 000 рублей?

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$S$ - долг (целое число)

$S=1$ млн. руб.

$r\%=2\%$ увеличение долга

$A$ - общая сумма выплат

$A=1346000$ рублей

Так как $S=1$ млн. руб., а сумма выплат составляет $1346000$ руб, значит переплата составляет $346000$ рублей.

Считаем в тысячах рублей

Начисление $2\%$ на $1000$ :

$1000\cdot 0,02$

Начисление $2\%$ за $2$ год:

$(1000-15)\cdot 0,02$

Начисление $2\%$ за $3$ год:

$(1000-15\cdot 2)\cdot 0,02$

Начисление $2\%$ за $2018+n$

$(1000-15n)\cdot 0,02$

Начисление $2\%$ за $2019+n$

$(1000-15n-x)\cdot 0,02$

Начисление $2\%$ за $2020+n$

$(1000-15n-2x)\cdot 0,02$

Начисление $2\%$ за $2020+2n$

$600\cdot 0,02$

Обозначим выражение как (1)

$346=1000\cdot 0,02+(1000-15)\cdot 0,02+(1000-15\cdot 2)\cdot 0,02+…+\\ +(1000-15n)\cdot 0,02+(1000-15n-x)\cdot 0,02+(1000-15n-2x)\cdot 0,02+…+600\cdot 0,02$

$2018+n$ является годом $n+1$ , так как каждый год долг уменьшался на $15$ тыс. рублей, а на момент $2018+n$ долг уменьшился на $15n$

$2019+n$ является годом $n+2$

$2020+n$ является годом $n+3$

$2018+2n$ является годом $2n+1$

То есть кредит был взят на $2n+1$ год

Тогда до года $2018+2n$ прошло $2n$ лет

$600=1000-15n-nx,$

то есть:

$15n+nx=400\\ n=400(15+x)$

Преобразуем выражение (1):

$346=0,02( 1000+1000-15+1000-15\cdot 2+...+1000-15n) +0,02( 1000-15n-\\ -x+1000-15n-2x+...+600)\\ 346=0,02\cdot \frac{1000+1000-15n}{2} \cdot ( n+1) +0,02\cdot \frac{1000-15n-x+600}{2} \cdot n\\ 346=0,02\left(\frac{2000-15n}{2} \cdot ( n+1)\right) +0,02\cdot \frac{1600-15n-x}{2} \cdot n\\ 346=0,01( 2000-15n)( n+1) +0,01( 1600-15n-x) \cdot n\\ 0,01\left( 2000-15n^{2} +2000-15n\right) +0,01\left( 1600-15n^{2} -xn\right) =346|\cdot 100\\ 2000-15n^2+2000-15n+1600n-15n^2-xn=34600\\ 30n^2+15n+xn-2000n-2000-1600n+34600+0$

Но так как $15n+nx=400$ , значит:

$30n^2-2000n+400-2000-1600n+34600=0\\ 30n^2-3600n+33000=0|:30\\ n^2-120n+1100=0\\ (n-10)(n-110)=0\\ n=10~или~n=110$

Проверим корни:

$1000-15n$ долг на $2018+n$ год

$1000-15\cdot 110=-600,$

но долг не может быть отрицательным, значит $n=110$ не подходит.

$1000-15\cdot 10=850,$

значение положительное, значит $n=10$ .

Если $n=10$ , значит кредит был взят на $21$ год, то есть последний платеж будет в $2038$ году.

Ответ: 2038 год