Таблицы платежей

Пусть $x_{i} -$ выплата, а сумма кредита увеличивается в $k = 1,2$ раза, тогда:

$$S\cdot 1,2-x_{1} =0,8S\ \rightarrow \ x_{1} =0,4S\\ 0,8S\cdot 1,2-x_{2} =0,4S\ \rightarrow \ x_{2} =0,56S\\ 0,4S\cdot 1,2-x_{3} =0\ \rightarrow \ x_{3} =0,48S$$ Заметим, что $0,56S$ наибольшая выплата $\Rightarrow$ чтобы каждая выплата была меньше $5$ млн. рублей достаточно, чтобы максимальная выплата была меньше $5$ млн. $\Rightarrow$

$$\begin{gathered} 0{,}56S < 5 \\[0.5em] S < \frac{5}{0{,}56} \\[0.5em] S < \frac{500}{56} \\[0.5em] S < \frac{125}{14} \\[0.5em] S < \frac{125}{14} \\[0.5em] S < 8\frac{13}{14} \\[0.5em] S = 8 \end{gathered}$$

Ответ: 8.

Составим математическую модель, где $x_n$ выплата за $n$ - ный месяц:

$$\begin{aligned} 1(1+\frac{r}{100})-x_1&=0{,}6\\ 0{,}6(1+\frac{r}{100})-x_2&=0{,}4\\ 0{,}4(1+\frac{r}{100})-x_3&=0{,}3\\ 0{,}3(1+\frac{r}{100})-x_4&=0{,}2\\ 0{,}2(1+\frac{r}{100})-x_5&=0{,}1\\ 0{,}1(1+\frac{r}{100})-x_6&=0 \end{aligned}$$

Пусть $(1+\frac{r}{100})=k$, выразим все неизвестные:

$$\begin{aligned} x_1&=1k-0{,}6\\ x_2&=0{,}6k-0{,}4\\ x_3&=0{,}4k-0{,}3\\ x_4&=0{,}3k-0{,}2\\ x_5&=0{,}2k-0{,}1\\ x_6&=0{,}1k \end{aligned}$$

Все выплаты составят: $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=2{,}6k-1{,}6$

По условию общая сумма выплат должна быть меньше 1,2 млн рублей, тогда:

$$\begin{aligned} 2{,}6k-1{,}6&<1{,}2\\ k&<\frac{14}{13} \end{aligned}$$

Выполним обратную подстановку:

$$\begin{aligned} (1+\frac{r}{100})&<\frac{14}{13}\\ r&<\frac{100}{13} \\ r &< 7\frac{9}{13} \end{aligned}$$

Наибольшему целому значению $r$ соответствует 7.

]

Ответ: 7.

$n=4$

$n$ - количество лет

$S$ - долг (целое число)

$r=25$ - увеличение долга

$A$ - общая сумма выплат

$A<50$ млн. руб.

$X$ - выплата каждый год

Начисление процентов в первый год и выплата первого платежа:

$$S\cdot 1,25-x_1=0,8S$$

Начисление процентов во второй год и выплата второго платежа:

$$S\cdot 0,8\cdot 1,25-x_2=0,6S$$

Начисление процентов в третий год и выплата третьего платежа:

$$S\cdot 0,6\cdot 1,25-x_3=0,4S$$

Начисление процентов в четвертый год и выплата четвертого платежа:

$$S\cdot 0,4\cdot 1,25-x_4=0$$

Выразим вносимые платежи

$$x_1=1,25S-0,8S=0,45S\\ x_2=S-0,6S=0,4S\\ x_3=0,75S-0,4S=0,35S\\ x_4=0,5S$$

Общая сумма выплат составляет:

$$A=x_1+x_2+x_3+x_4\\ x_1+x_2+x_3+x_4<50\\ 0,45S+0,4S+0,35S+0,5S<50\\ 1,7S<50\\ S<\frac{500}{17} \\ S < 29\frac{7}{17}$$

Но так как $S$ целое число и необходимо наибольшее значение $S$, значит $S=29$ млн. руб.

Ответ: 29

$n=3$

$n$ - количество лет

$S$ - долг (целое число)

$r\% =20\%$ - процентная ставка

$k = 1 + \frac{r}{100} = 1,2$ — коэффициент увеличения долга.

$X$ - выплата каждый год

$A$ - общая сумма выплат

Каждая выплата $<5$ млн. руб.

Начисление процентов в первый год и выплата первого платежа:

$$S\cdot 1,2-x_1=0,8S$$

Начисление процентов во второй год и выплата второго платежа:

$$S\cdot 0,8\cdot 1,2-x_2=0,4S$$

Начисление процентов в третий год и выплата третьего платежа:

$$S\cdot 0,4\cdot 1,2-x_3=0$$

$$x_1=0,4S\\ x_2=0,56S\\ x_3=0,48S$$

Значит $x_2$ является наибольшей выплатой.

Но если наибольшая выплата меньше $5$ млн., то и остальные выплаты меньше $5$ млн. руб.

$$\begin{aligned} 0,56S<5\\ S<\frac{5}{0,56}\\ S<\frac{500}{56}\\ S<\frac{125}{14} \\ S < 8\frac{13}{14} \end{aligned}$$

Но так как $S$ целое число и оно должно быть наибольшим, значит $S=8$ млн. руб.

Ответ: 8 млн. руб.

Пусть $S$ - сумма долга

$r=5$ (увеличение долга в $\%$)

$X$ - выплата

$\cdot 1,05$ - начисление $\%$

Спустя месяц долг составит:

$$S\cdot 1,05-x_1=0,9S,$$

то есть:

$$S\cdot 1,05-0,9S=x_1$$

Спустя $2$ месяца долг составит:

$$0,9S\cdot 1,05-x_2=0,8S,$$

то есть:

$$0,9S\cdot 1,05-0,8S=x_2$$

Спустя 3 месяца долг составит:

$$0,8S\cdot 1,05-x_3=0,7S,$$

то есть:

$$0,8 S\cdot 1,05-0,7S=x_3$$

Спустя $4$ месяца долг составит:

$$0,7S\cdot 1,05-x_4=0,6S,$$

то есть

$$0,7 S\cdot 1,05-0,6S=x_4$$

Спустя $5$ месяцев долг составит:

$$0,6S\cdot 1,05-x_5=0,5S,$$

то есть:

$$0,6 S\cdot 1,05-0,5S=x_5$$

Спустя 6 месяцев долг составит:

$$0,5S\cdot 1,05-x_5=0,$$

то есть:

$$0,5S\cdot 1,05-0=x_6$$

Тогда:

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=(S+0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)\cdot 1,05-\\ -(0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=4,5S\cdot 1,05-3,5S\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=4,725S-3,5S\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=1,225S$$

То есть все выплаты составят $1,225S$

$$(\frac{1,225S-S}{S})\cdot 100\%=22,5\%$$

Значит на $22,5\%$ общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита.

Ответ: 22,5