Тип 16 № 12729

$S$ - размер кредита

$S=1200$ тыс. руб.

Количество месяцев:

$$n+1$$

$r\%$ (увеличение кредита в $\%$)

Начисление процентов:

$$\frac{r}{100}$$

$A=1288$ тыс. руб. (общая сумма выплат)

Все начисленные проценты составят:

$$1288-1200=88~тыс. руб.$$

Размер долга в $n$ месяц:

$$1200-400$$

Потом долг стал уменьшаться:

$$\frac{1200-400}{n},$$

то есть на $80$ тыс. руб.

$$\frac{1200-400}{n}=80\\ 1200-400=80n\\ 800=80n\\ n=10~месяцев$$

Но кредит взяли на $n+1$, значит кредит взяли на $11$ месяцев.

Составим математическую модель для переплат:

Начисление процентов в первый год:

$$1200\cdot\frac{r}{100}$$

Начисление процентов во второй год:

$$(1200-80)\cdot\frac{r}{100}$$

Начисление процентов в третий год:

$$(1200-2\cdot 80)\cdot\frac{r}{100}$$

Начисление процентов в последний год:

$$(1200-10\cdot 80)\cdot\frac{r}{100}$$

$$88=1200\cdot\frac{r}{100}+(1200-80)\cdot\frac{r}{100}+(1200-2\cdot 80)\cdot\frac{r}{100}+(1200-10\cdot 80)\cdot\frac{r}{100}\\ 88=\frac{r}{100}\cdot (1200+1200-80+1200-2\cdot 80+…+1200-10\cdot 80)$$

Арифметическая прогрессия:

$$1200+1200-80+1200-2\cdot 80+…+1200-10\cdot 80$$

Сумма арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$\begin{aligned} 88=\frac{r}{100}\cdot\frac{1200+400}{2}\cdot 11\\ 88=\frac{r}{100}\cdot 800\cdot 11\\ 8=\frac{r}{100}\cdot 800\\ 1=\frac{r}{100}\cdot 100\\ r=1 \end{aligned}$$ Ответ: 1