Задание 16: Кредиты, неравномерное уменьшение долга — ЕГЭ по математике

15 -го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1 -го числа каждого месяца долг возрастает на 2%
по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 -го по 14 -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15 -го числа каждого месяца с 1 -го по 12 -й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15 -е число предыдущего месяца;

— к 15 -му числу 13 -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

Источник: ЕГЭ – 2018. Основная волна.

Решение:

$S$ - размер кредита

$S=1200$ тыс. руб.

$n$ - количество месяцев

$n=13$

$r=2$ (увеличение кредита в %))

Начисление процентов:

$\frac{r}{100}$

$A=804$ тыс. руб. (общая сумма выплат)

Составим математическую модель для всех выплат:

Начисленные проценты в $1$ месяц:

$S\cdot 0,02$

Начисленные проценты во второй месяц и внесение платежа:

$(S-50)\cdot 0,02$

Начисленные проценты в последний месяц и внесение платежа:

$(S-50\cdot 12)\cdot 0,02$

$804=S+S\cdot 0,02+(S-50)\cdot 0,02+(S-2\cdot 50)\cdot 0,02+…+(S-50\cdot 12)\cdot 0,02\\ 804=S+0,02\cdot (S+S-50+S-2\cdot 50+…+S-50\cdot 12)$

Арифметическая прогрессия:

$S+S-50+S-2\cdot 50+…+S-50\cdot 12$

Сумма арифметической прогрессии:

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

$804=S+0,02\cdot\frac{S+S-50\cdot 12}{2}\cdot 13\\ 804=S+0,02\cdot (S-50\cdot 6)\cdot 13\\ 804=S+0,02\cdot (S-300)\cdot 13\\ 804=S+0,26\cdot S-0,26\cdot 300\\ 882=1,26\cdot S\\ S=\frac{882}{1,26}\\ S=\frac{88200}{126}=700~тыс. руб.$

Значит, кредит планируется взять на $700$ тыс. руб.

Ответ: 700