Задание 16: Кредиты, неравномерное уменьшение долга — ЕГЭ по математике

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев.

Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r по сравнению с концом предыдущего месяца (r − целое число);
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа с 1-го по 15-й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;
15-го числа 16-го месяца долг должен быть погашен.

Найдите r , если известно, что полная сумма выплат после погашения кредита составила 1228 тысяч рублей?

Источник: ЕГЭ – 2022. Досрочная волна.

Решение:

Пусть 15-го числа каждого месяца с 1 по 15 сумма долга уменьшается на х тысяч рублей.

Тогда в первые 15 месяцев выплата, производимая со 2-е по 14-е число каждого месяца, будет складываться из набежавших в 1-е число этого месяца процентов (сумма задолженности на конец предыдущего месяца, умноженная на $\frac{r}{100}$ ) и этой самой выплаты в $x$ тысяч рублей. При этом полная сумма выплаченных процентов составит $1228-1100=128$ тысяч рублей.

При этом сумма долга первые 15 месяцев будет составлять $1100, 1100-x, 1100-2x,\dots ,1100-15x$ соответственно на конец каждого месяца, начиная с декабря.

Составим мат.модель для подсчета суммы всех выплаченных процентов:

$128=\frac{r}{100}1100+\frac{r}{100}(1100-x)+\frac{r}{100}(1100-2x)+\dots +\frac{r}{100}(1100-15x)\\ 128=\frac{r}{100}(1100+1100-x+1100-2x+\dots +1100-15x)$

По формуле арифметической прогрессии:

$128=\frac{r}{100}\cdot \frac{(1100+1100-15x)}{2}16$

При этом $1100-15x$ $-$ сумма долга на 15-е число 15-го месяца, которая по условию равна 500 тысячам рублей. Тогда получаем:

$128=\frac{r}{100}\cdot \frac{(1100+500)}{2}16\\ 1600=r\cdot 1600\\ r=1$

Ответ: 1.