Задание 16: Задачи разного типа — ЕГЭ по математике

Евгения взяла в банке кредит на 3 года, который ей предстоит погасить тремя равными платежами. В конце каждого года банк начисляет 10%
на оставшуюся часть долга, после чего Александра в тот же день вносит очередной платеж в банк. Как известно, часть такого платежа идет на погашение суммы начисленных процентов, а вторая часть идет на уменьшение основного долга. Оказалось, что наименьшая из трех сумм, направленных на погашение основного долга, составила 2 миллиона рублей. Определите наименьшую из трех сумм, направленных на погашение процентов за пользование кредитом.

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$n=3$

$N$ - количество лет

$r=10$

$S$ - долг

$X$ - выплата (состоит из погашения начисляемых процентов и $2$ млн. руб.)

$x=0,1S+2$

Начисление процентов в первый год и выплата первого платежа:

$1,1S-x$

Начисление процентов во второй год и выплата второго платежа:

$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)$

Начисление процентов в третий год и выплата третьего платежа:

$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)\cdot 1,1-x$

Составим математическую модель:

$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)\cdot 1,1-x=0\\ (1,1^2S-1,1x-x)\cdot 1,1-x=0\\ 1,1^3S-1,1^2x-1,1x-x=0\\ 1,1^3S-x(1,1^2+1,1x+1)=0\\ 1,331S-x\cdot 3,31=0$

Но

$x=0,1S+2$

Значит:

$1,331S-(0,1S+2)\cdot 3,31=0\\ 1,331S-0,331S-6,62=0\\ S=6,62$

Тогда:

$x=0,1\cdot 6,62+2=2,662$

Нужно узнать сколько процентов начислится после второго года

Стало в конце первого года:

$S\cdot 1,1$

Внесли платеж в начале второго:

$S\cdot 1,1-x$

Остаток после двух выплат:

$(S\cdot 1,1-x)1,1-x$

$((S\cdot 1,1-x)1,1-x)\cdot 0,1=(S\cdot 1,1^2-1,1x-x)\cdot 0,1=\\ =(1,21S-2,1x)\cdot 0,1=(1,21S-2,1(0,1S+2))\cdot 0,1=(1,21S-0,21S-4,2)\cdot 0,1=\\ =(S-4,2)\cdot 0,1=(6,62-4,2)\cdot 0,1=0,242 ~млн.~ руб.$

То есть наименьшая из трех сумм, направленных на погашение процентов за пользование кредитом $242$ тыс. руб.

Ответ: 242 000