Задачи разного типа

$n=3$

$N$ - количество лет

$r=10$

$S$ - долг

$X$ - выплата (состоит из погашения начисляемых процентов и $2$ млн. руб.)

$$x=0,1S+2$$

Начисление процентов в первый год и выплата первого платежа:

$$1,1S-x$$

Начисление процентов во второй год и выплата второго платежа:

$$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)$$

Начисление процентов в третий год и выплата третьего платежа:

$$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)\cdot 1,1-x$$

Составим математическую модель:

$$((1,1S-x)\cdot 1,1)-x)\cdot 1,1-x=0\\ (1,1^2S-1,1x-x)\cdot 1,1-x=0\\ 1,1^3S-1,1^2x-1,1x-x=0\\ 1,1^3S-x(1,1^2+1,1x+1)=0\\ 1,331S-x\cdot 3,31=0$$

Но

$$x=0,1S+2$$

Значит:

$$1,331S-(0,1S+2)\cdot 3,31=0\\ 1,331S-0,331S-6,62=0\\ S=6,62$$

Тогда:

$$x=0,1\cdot 6,62+2=2,662$$

Нужно узнать сколько процентов начислится после второго года

Стало в конце первого года:

$$S\cdot 1,1$$

Внесли платеж в начале второго:

$$S\cdot 1,1-x$$

Остаток после двух выплат:

$$(S\cdot 1,1-x)1,1-x$$

$$((S\cdot 1,1-x)1,1-x)\cdot 0,1=(S\cdot 1,1^2-1,1x-x)\cdot 0,1=\\ =(1,21S-2,1x)\cdot 0,1=(1,21S-2,1(0,1S+2))\cdot 0,1=(1,21S-0,21S-4,2)\cdot 0,1=\\ =(S-4,2)\cdot 0,1=(6,62-4,2)\cdot 0,1=0,242 ~млн.~ руб.$$

То есть наименьшая из трех сумм, направленных на погашение процентов за пользование кредитом $242$ тыс. руб.

Ответ: 242 000

$r=24$

В году $t$ стоимость ценных бумаг составляет:

$$10t$$

В $t+1$ году стоимость ценных бумаг составляет:

$$10(t+1)=10t+10$$

Посчитаем на сколько $\%$ изменится цена $t$ года, по сравнению с годом $t+1$:

$$\frac{10t+10t+10}{10t}=\frac{10}{10t}=\frac{1}{t}$$

Значит доход убывает на $\frac{1}{t}$, при $t\in N$.

Тогда необходимо сделать так, чтобы начисляемый процент в банке стал больше, чем доход,

который будет в пенсионном фонде $$\begin{aligned} \frac{1}{t}<24\%\\ \frac{1}{t}<\frac{24}{100}\\ 1<\frac{24t}{100}\\ t>\frac{100}{24}\\ t>4\frac{1}{6} \end{aligned}$$ Значит $t=5$, то есть в конце $5$ года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей.

Ответ: 5

Страна $A$:

В $2015$ году производили $192$ кг.

Так как ежегодно производство увеличивается на $20\%$, значит, в $2018$ году будет:

$$192\cdot 1,2^3$$

Страна $B$:

$$\frac{Все~производство}{на~все~души}=производство~зерна~на~душу~населения~(*)$$

В $2015$ году:

Пусть $k$ - количество населения.

Тогда $375k$ было производство зерна.

Значит, все производство составило:

$$375k\cdot 1,14^3$$

(То есть стало в $2018$ году)

Все души:

$$k\cdot (1+\frac{m}{100})^3$$

(То есть стало в $2018$ году)

Подставим в *

$$\frac{375k\cdot 1,14^3}{k\cdot (1+\frac{m}{100})^3}=\\ =\frac{375\cdot 1,14^3}{(1+\frac{m}{100})^3}$$

Так как в $2018$ году производство зерна на душу населения в странах $A$ и $B$ стало одинаковым.

$$192\cdot 1,2^3=\frac{375\cdot 1,14^3}{(1+\frac{m}{100})^3}$$

Пусть: $$\begin{aligned} t=1+\frac{m}{100}\\ 192\cdot 1,2^3=\frac{375\cdot 1,14^3}{t^3}\\ t^3=\frac{375\cdot 1,14^3}{192\cdot 1,2^3}\\ t^3=\frac{5^3\cdot 1,14^3}{4^3\cdot 1,2^3}\\ t=\frac{5\cdot 1,14}{4\cdot 1,2}\\ t=\frac{5\cdot 114}{4\cdot 120}\\ t=\frac{5\cdot 19}{4\cdot 4}\\ t=\frac{19}{16} \end{aligned}$$ Тогда: $$\begin{aligned} 1+\frac{m}{100}=\frac{19}{16}\\ \frac{m}{100}=\frac{3}{16}\\ m=\frac{300}{16}\\ m=18,75 \end{aligned}$$ Ответ: 18,75

$S$ - изначальная сумма денег

$r=26$ (увеличение первой суммы)

$b$ - стоимость барреля нефти

$b$ убывала каждый месяц на $10\%$

Значит цена барреля через месяц стала:

$$0,9b$$

Количество денег в ноябре:

$$S\cdot 1,26^2$$

Стоимость барреля:

$$0,9^2b$$

$\frac{S\cdot 1,26^2}{0,9^2b}$ - столько можно купить в ноябре.

$$\frac{S\cdot 1,26^2}{0,9^2b}=\frac{63^2\cdot S\cdot 10}{50^2\cdot b\cdot 9^2}=\frac{49S}{25b}$$

В сентябре можно купить:

$$\frac{S}{b}$$

Тогда найдем на сколько процентов больше нефти можно приобрести в ноябре, чем в сентябре

$$100\%\cdot\frac{\frac{S\cdot 1,26^2}{0,9^2b}-\frac{S}{b}}{\frac{S}{b}}=100\%\cdot\frac{\frac{49S}{25b}-\frac{S}{b}}{\frac{S}{b}}=\\ =100\%\cdot \frac{24S}{25b}\cdot \frac{b}{S}=100\%\cdot\frac{24}{25}=96\%$$

Ответ: 96

Пусть первый купил $x$ акций, а второй купил $y$ акций.

$n$ - цена акции

Увеличение цены акции:

$$\cdot (1+\frac{r}{100})$$

Пусть:

$$1+\frac{r}{100}=k$$

Тогда:

$$xn+yn=36440\\ n(x+y)=3640\\ n=\frac{3640}{x+y}$$

Когда цена акции выросла:

$$0,75x\cdot n(1+\frac{r}{100})+0,8y\cdot n(1+\frac{r}{100})=3927$$

Из-за того, что сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на $140\%$ превысила сумму, полученную первым брокером, тогда: $$\begin{aligned} \frac{0,8y\cdot n(1+\frac{r}{100})}{0,75x\cdot n(1+\frac{r}{100})}=2,4\\ \frac{0,8y\cdot n\cdot k}{0,75x\cdot n\cdot k}=2,4\\ \frac{0,8y}{0,75x}=2,4\\ \frac{80y}{75x}=\frac{12}{5}\\ \frac{y}{x}=\frac{9}{4}\\ y=\frac{9x}{4} \end{aligned}$$ Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на $140\%$ превысила сумму, полученную первым брокером, тогда:

$$0,75x\cdot n\cdot (1+\frac{r}{100})\cdot 3,4=3927\\ 0,75x\cdot n\cdot k\cdot 3,4=3927\\ 0,75x\cdot n\cdot k=1155\\ x\cdot n\cdot k=1540$$

Но так как:

$$n=\frac{3640}{x+y},$$

значит:

$$\frac{x+y}{x\cdot k}=\frac{364}{154}$$

Но так как:

$$y=\frac{9x}{4}$$

Значит: $$\begin{aligned} \frac{x+\frac{9x}{4}}{x\cdot k}=\frac{364}{154}\\ \frac{x+\frac{9x}{4}}{x\cdot k}=\frac{182}{77}\\ \frac{\frac{13x}{4}}{x\cdot k}=\frac{182}{77}\\ \frac{13}{4k}=\frac{182}{77}\\ k=\frac{77\cdot 13}{4\cdot 182}\\ k=\frac{11}{8}\\ k=1,375 \end{aligned}$$ Значит: $$\begin{aligned} 1+\frac{r}{100}=1,375\\ \frac{r}{100}=0,375\\ r=37,5 \end{aligned}$$ Ответ: 37,5