Задание 16: Кредиты, равномерное уменьшение долга — ЕГЭ по математике

Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r%
этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13%
больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$n=12$

$N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга

$r$ - увеличение кредита на $\%$

$A$ - сумма всех платежей

$1,13S=A$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$\frac{1S}{12}$

Начисление процентов:

$\cdot \frac{r}{100}$

Переплаты составляют:

$1,13S-S=0,13S$

Составим математическую модель для всех переплат

Заплатили в первый месяц:

$S\cdot \frac{r}{100}$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{12}$ ):

$S-\frac{1S}{12}$

Заплатили во второй месяц:

$(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}$

Заплатили в третий месяц: $\begin{aligned} (S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}\\ 0,13S=S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{12}\cdot\frac{r}{100}\\ 0,13S=\frac{r}{100}\cdot (S+\frac{11S}{12}+\frac{10S}{12}+\frac{10S}{12}+…+\frac{1S}{12}) \end{aligned}$ Сумма членов арифметической прогрессии:

$S+\frac{11S}{12}+\frac{10S}{12}+\frac{10S}{12}+…+\frac{1S}{12}$

Сумма арифметической прогрессии: $\begin{aligned} \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\\ 0,13S=\frac{r}{100}\cdot\frac{S+\frac{1S}{12}}{2}\cdot 12|\cdot 100\\ 13S=r\cdot\frac{S+\frac{1S}{12}}{2}\cdot 12\\ 13S=r\cdot\frac{12S+S}{2}\\ 26S=r\cdot 13S\\ r=2 \end{aligned}$ Ответ: 2