Кредиты, равномерное уменьшение долга

Пусть:

• $S = 300$ тыс. рублей — сумма кредита.
• $n = 6$ лет — срок кредита.
• Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{n} = 50$ тыс. рублей.

Математическая модель

Общая сумма выплат состоит из суммы кредита и начисленных процентов: $$435 = 300 + \text{проценты} \Rightarrow \text{проценты} = 135 \text{ тыс. рублей}$$

Сумма начисленных процентов: $$135 = S \cdot \frac{r}{100} + \frac{5}{6}S \cdot \frac{r}{100} + \frac{4}{6}S \cdot \frac{r}{100} + \frac{3}{6}S \cdot 0.15 + \frac{2}{6}S \cdot 0.15 + \frac{1}{6}S \cdot 0.15$$

Упростим выражение: $$135 = \frac{r}{100} \left( S + \frac{5}{6}S + \frac{4}{6}S \right) + 0.15 \left( \frac{3}{6}S + \frac{2}{6}S + \frac{1}{6}S \right)$$ $$135 = \frac{r}{100} \cdot 2.5S + 0.15 \cdot S$$ $$135 = 7.5r + 45$$ $$7.5r = 90 \Rightarrow r = 12$$

Ответ: 12

Математическая модель

Пусть:

• $S = 1\,209\,600$ рублей — сумма кредита.
• $r = 10\%$ — годовая процентная ставка.
• $n = 2$ года — срок кредита.
• $x$ — размер ежегодного платежа.
• $k = 1 + \frac{r}{100} = 1.1$ — коэффициент увеличения долга.

Долг на конец каждого года рассчитывается по следующей схеме:

1. Начисляются проценты на остаток долга: $\text{Долг} \times \frac{r}{100}$
2. Вычитается платеж $x$

Уравнение для $x$

После второго года долг должен быть равен нулю: $$\left(S \cdot k - x\right) \cdot k - x = 0$$

Раскроем скобки: $$S \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$$

Выразим $x$: $$x(k + 1) = S \cdot k^2$$ $$x = \frac{S \cdot k^2}{k + 1}$$

Подстановка значений

Подставим $S = 1\,209\,600$ и $k = 1.1$: $$x = \frac{1\,209\,600 \cdot (1.1)^2}{2.1} = \frac{1\,209\,600 \cdot 1.21}{2.1}$$ $$x = \frac{1\,463\,616}{2.1} = 696\,960 \text{ рублей}$$

Ответ: 696,960 рублей

Введем обозначения:

• $S$ - сумма кредита (тыс. рублей)
• $n = 31$ - количество месяцев
• $x$ - сумма ежемесячного уменьшения долга
• $r = 2\% = 0.02$ - месячная процентная ставка

Условия задачи:

1. Ежемесячное уменьшение долга: $x = \frac{S - 100}{30}$
2. На 30-й месяц (июнь 2027): остаток долга 100 тыс. рублей
3. На 31-й месяц (июль 2027): полное погашение $x$

Расчет общей суммы выплат: Общая сумма выплат состоит из: $$555 = S + \text{все начисленные проценты}$$

Проценты за каждый месяц: $$\text{Проценты} = 0.02S + 0.02(S-x) + 0.02(S-2x) + \cdots + 0.02(S-30x)$$

Это арифметическая прогрессия, где: $$\text{Проценты} = 0.02 \times \frac{S + (S-30x)}{2} \times 31$$

Подставим $S-30x = 100$: $$555 = S + 0.02 \times \frac{S + 100}{2} \times 31$$ $$555 = S + 0.31(S + 100)$$ $$555 = 1.31S + 31$$ $$1.31S = 524$$ $$S = \frac{524}{1.31} = 400 \text{ тыс. рублей}$$

Ответ: 400

Кредит в размере $S$ тыс. руб. погашается в течение 10 лет:

• Первые 5 лет: процентная ставка 19%
• Последние 5 лет: процентная ставка 16%
• Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{10}$ тыс. руб.

Расчет общей суммы выплат:

$$\begin{align*} S_{\text{общ}} &= S + 0,19 \left(S + \frac{9}{10}S + \frac{8}{10}S + \frac{7}{10}S + \frac{6}{10}S\right) \\ &\quad + 0,16 \left(\frac{5}{10}S + \frac{4}{10}S + \frac{3}{10}S + \frac{2}{10}S + \frac{1}{10}S\right) \\ &= S + 0,19 \cdot 4S + 0,16 \cdot 1,5S \\ &= S + 0,76S + 0,24S \\ &= 2S \end{align*}$$

$$S_{\text{общ}} = 2 \times 700 = 1400 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: 1,400,000

Математическая модель

Пусть:

• $S = 600\,000$ рублей — сумма кредита.
• $n = 6$ лет — срок кредита.
• Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{6} = 100\,000$ рублей.
• Общая сумма выплат: 930,000 рублей.

Сумма выплат состоит из: $$930\,000 = 600\,000 + \text{проценты}$$ $$\text{Проценты} = 330\,000 \text{ рублей}$$

Вычислим проценты: $$330\,000 = S \cdot \frac{r}{100} + \frac{5}{6}S \cdot \frac{r}{100} + \frac{4}{6}S \cdot \frac{r}{100} + \frac{3}{6}S \cdot 0.15 + \frac{2}{6}S \cdot 0.15 + \frac{1}{6}S \cdot 0.15$$

Упростим выражение: $$330 = 600 \left( \frac{r}{100} \left(1 + \frac{5}{6} + \frac{4}{6}\right) + 0.15 \left(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}\right) \right)$$ $$330 = 600 \left( \frac{r}{100} \cdot \frac{15}{6} + 0.15 \cdot 1 \right)$$ $$330 = 600 \left( \frac{2.5r}{100} + 0.15 \right)$$ $$330 = 15r + 90$$ $$15r = 240 \Rightarrow r = 16$$

Ответ: 16