Задание 16: Кредиты, равномерное уменьшение долга — ЕГЭ по математике

15 ‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1 -го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 -го по 14 -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15 -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Источник: ЕГЭ – 2016. Основная волна.

Решение:

$n=14$

$N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга

$r$ - увеличение кредита на $\%$

Начисление процентов:

$\cdot\frac{r}{100}$

$A$ - сумма всех платежей

$1,15S=A$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$\frac{1S}{15}$

Все переплаты составляют:

$1,15S-S=0,15S$

Составим математическую модель для всех переплат

Заплатили в первый месяц:

$S\cdot\frac{r}{100}$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{14}$ ):

$S-\frac{1S}{14}$

Заплатили во второй месяц:

$(S-\frac{1S}{14})\cdot\frac{r}{100}$

Заплатили в третий месяц:

$(S-\frac{2S}{14})\cdot\frac{r}{100}$ $\begin{aligned} 0,15S=S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{14})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{14})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{14}\cdot\frac{r}{100}\\ 0,15S=(1+\frac{13}{14}+\frac{12}{14}+\frac{11}{14}+…+\frac{1}{14})\cdot\frac{Sr}{100} \end{aligned}$ Это сумма членов арифметической прогрессии:

$(1+\frac{13}{14}+\frac{12}{14}+\frac{11}{14}+…+\frac{1}{14})$

Сумма арифметической прогрессии:

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ $\begin{aligned} 15=r\cdot \frac{1+\frac{1}{14}}{2}\cdot 14\\ 15=r\cdot\frac{15}{2}\\ r=2 \end{aligned}$ Ответ: 2