Задание 16: Кредиты, равномерное уменьшение долга — ЕГЭ по математике

15 сентября планируется взять кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1 -го числа каждого месяца долг возрастает на 5%
по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 -го по 14 -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15 -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 -е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,59  млн. рублей?

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$n=12$ $N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга (в млн. рублей)

$r$ - увеличение кредита на $\%$

$r=5$

Начисление процентов:

$\frac{r}{100}$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$\frac{S}{12}$

Составим математическую модель для суммы выплат:

Заплатили в первый месяц:

$S\cdot\frac{r}{100}$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{12}$ ):

$S-\frac{S}{12}$

Заплатили во второй месяц:

$(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}$

Заплатили в третий месяц:

$(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}$

И так далее:

$\begin{aligned} 1,59=S+S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{12}\cdot\frac{r}{100}\\ 1,59= \left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\frac{9}{12}+…+\frac{1}{12}\right)\cdot S\cdot 0,05+S \end{aligned}$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ $\begin{aligned} 1,59=S+S\cdot 0,05\cdot\frac{1+\frac{1}{12}}{2}\cdot 12\\ 1,59=S+S\cdot 0,05\cdot\frac{13}{2}\\ 1,59=S+S\cdot 0,325\\ 1,59=S\cdot 1,325\\ S=\frac{1,59}{1,325}\\ S=\frac{1590}{1325}\\ S=1,2~млн. руб. \end{aligned}$ Ответ: 1,2