Задание 16: Кредиты, равномерное уменьшение долга — ЕГЭ по математике

15 -го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1 -го числа каждого месяца долг возрастает на 2%
по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 -го по 14 -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15 -го числа каждого месяца с 1 -го по 30 -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 -е число предыдущего месяца;

— к 15 -му числу 31 -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15 -го числа 30 -го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

Источник: ЕГЭ – 2018. Основная волна.

Решение:

$S$ - размер кредита (в тыс. руб.)

$S=1100$ тыс. руб.

$n$ - количество месяцев

$n=31$

$r=2$ (увеличение кредита в $\%$ )

Начисление процентов:

$\frac{r}{100}$

$A$ - общая сумма выплат

$A=1503$ тыс. руб.

Пусть $x$ - уменьшение долга с $1$ по $30$ месяц. Тогда переплата составляет:

$1503-1100=403~тыс. руб.$

Составим математическую модель для переплат:

Начисление $\%$ в первый месяц:

$1100\cdot 0,02$

Начисление $\%$ во второй месяц:

$(1100-x)\cdot 0,02$

Начисление $\%$ в третий месяц:

$(1100-2x)\cdot 0,02$

Начисление $\%$ в последний месяц:

$(1100-30x)\cdot 0,02$

$403=1100\cdot 0,02+(1100-x)\cdot 0,02+(1100-2x)\cdot 0,02+…+(1100-30x)\cdot 0,02\\ 403=0,02\cdot (1100+1100-x+1100-2x+…+1100-30x)$

Арифметическая прогрессия:

$1100+1100-x+1100-2x+…+1100-30x$

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ $403=0,02\cdot\frac{1100+1100-30x}{2}\cdot 31 \Leftrightarrow 13=0,02\cdot\frac{1100+1100-30x}{2} \Leftrightarrow 13=0,02\cdot (1100-15x)$ $13=22-0,3x \Leftrightarrow 0,3x=22-13 \Leftrightarrow 0,3x=9 \Leftrightarrow 3x=90 \Leftrightarrow x=30$ Тогда долг $15$ -го числа $30$ -го месяца будет:

$1100-30\cdot 10=200~тыс. руб.$

Ответ: 200