Задание 16: Оптимизация — ЕГЭ по математике

Строительство нового завода стоит 159 млн. рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5 $x^2$ +2x+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px−(0,5 $x^2$ +2x+6) . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год p=10 , а далее каждый год возрастает на 1 . За сколько лет окупится строительство?

Источник: ЕГЭ – 2019. Досрочная волна.

Решение:

Функция прибыли:

$px-(0,5x^2+2x+6)\\ px-(0,5x^2+2x+6)=-0,5x^2+px-6-2x=-0,5x^2-x(2-p)-6$

Функция является квадратичной, графиком является парабола с ветвями вниз, наибольшее значение принимает в вершине

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{2-p}{-1}=p-2\\ f(x)=-0,5(p-2)^2-(p-2)(2-р)-6=-0,5(p-2)^2+(p-2)^2-6=0,5(p-2)^2-6$

Значит, в точке $0,5(p-2)^2-6$ функция принимает наибольшее значение.

$1$ год: $p=10$

$f(10)=0,5(10-2)^2-6=26~млн$

Значит, прибыль в $1$ год составит $26$ млн. руб.

Каждый год цена возрастает на $1$ .

$2$ год: $p=11$

$f(11)=0,5(11-2)^2-6=34,5~млн$

Значит, прибыль во $2$ год составит $34,5$ млн. руб.

$3$ год: $p=12$

$f(12)=0,5(12-2)^2-6=44~млн$

Значит, прибыль в $3$ год составит $44$ млн. руб.

$4$ год: $p=13$

$f(13)=0,5(13-2)^2-6=54,5~млн$

Значит, прибыль в $4$ год составит $54,5$ млн. руб.

Посчитаем прибыль за эти $4$ года:

$34,5~млн. руб.+44~млн. руб.+54,5~млн.руб.=159~млн. руб.$

Значит, за $4$ года окупится строительство.

Ответ: 4