Тип 16 № 12861

Пусть:

$x$ - количество единиц товара, произведенное на заводе в первом городе;

$(580-x)$ - количество единиц товара, произведенное на заводе во втором городе.

Время, необходимое для производства $x$ единиц товара на заводе, расположенном в первом городе, составит:

$$x=2t\Rightarrow t=\frac{x}{2}\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2$$

Время, необходимое для производства $(580-x)$ единиц товара на заводе, расположенном во втором городе, составит:

$$(580-x)=5t\Rightarrow t=\frac{580-x}{5}\Rightarrow t^2=\left(\frac{580-x}{5}\right)^2$$

Тогда:

Суммарные затраты по двум заводам составят:

$$500\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2+500\cdot \left(\frac{580-x}{5}\right)^2=f(x)$$

Преобразуем полученную функцию:

$$f(x)=500\cdot\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{580-x}{5}\right)^2\right)\\ f(x)=500\cdot\left(\frac{x^2}{4}+\frac{580^2-1160x+x^2}{25}\right)\\ f(x)=500\cdot\left(\frac{25x^2+4\cdot 580^2-4640x+4x^2}{100}\right)\\ f(x)=5\cdot (29x^2-4640x+4\cdot 580^2)\\ f(x)=145x^2-23200x+20\cdot 580^2$$

Графиком зависимости затрат от количества продукции $f(x)=145x^2-23200x+20\cdot 580^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, ее наименьшее значение будет в вершине $x_B=\frac{-b}{2a}=\frac{23200}{2\cdot 145}=\frac{23200}{290}=80$. Этому соответствуют затраты на еженедельную оплату труда рабочих

$$f(80)=145\cdot (80)^2-23200\cdot 80+20\cdot 580^2=928000-1856000+6728000=5800000$$

Ответ: 5800000