Задание 16: Кредиты, неравномерное уменьшение долга — ЕГЭ по математике

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r%
по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
в июле 2026 , 2027 , 2028 , 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
в июле 2031 , 2032 , 2033 , 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.

Источник: ЕГЭ – 2023. Основная волна.

Решение:

Пусть:

$x$ - сумма, на которую уменьшается долг с $2026$ -го по $2030$ -й год;

$y$ - сумма, на которую уменьшается долг с $2031$ -го по $2035$ -й год.

Все расчёты будем вести в тыс. рублей.

По условию за первые пять лет долг уменьшился с $800$ тыс. рубл. (июль $2025$ ) до $200$ тыс. рубл. (июль $2030$ ), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму $x$ . Тогда:

$x=\frac{800-200}{5}=120~тыс.рубл.$

За следующие пять лет долг уменьшился с $200$ тыс. рубл. (июль $2030$ ) до $0$ (июль $2035$ ), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму $y$ . Тогда:

$y=\frac{200}{5}=40~тыс.рубл.$

Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет состоять из начальной суммы кредита и суммы всех выплаченных процентов. Тогда сумма всех выплаченных процентов составит разницу между общей суммой выплат по кредиту и начальной суммой кредита:

$Сумма~всех~\%=1480-800=680$

Рассмотрим, как каждый январь начисляются проценты с учетом найденных значений $x$ и $y$ :

Значит, сумма всех выплаченных процентов составит:

$\begin{aligned} 800\cdot\frac{r}{100}+680\cdot\frac{r}{100}+560\cdot\frac{r}{100}+440\cdot\frac{r}{100}+320\cdot\frac{r}{100}+200\cdot\frac{r}{100}+160\cdot\frac{r}{100}+120\cdot\frac{r}{100}+80\cdot\frac{r}{100}+40\cdot\frac{r}{100}=680\\ \frac{r}{100}\cdot (800+680+560+440+320+200+160+120+80+40)=680\\ \frac{r}{100}\cdot 3400=680\\ 34r=680\\ r=20 \end{aligned}$

Ответ: 20