15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25%\ больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ 2022, основная волна
Решение:
Если -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на -е число предыдущего месяца, то значит, что мы ежемесячно будем должны выплачивать начисляемый процент и определенную часть долга. Обозначим сумму долга за . Тогда, чтобы каждый раз тело долга уменьшалось на одну и ту же сумму, выплаты на него должны быть равны , где - срок на который берут кредит.
Рассмотрим на какие остатки будет начисляться процент:
- В первый месяц:
2) Во второй месяц:
3) В третий месяц:
8) В восьмой месяц:
9) В последний (девятый) месяц:
Вспомним, что мы сказали: “мы ежемесячно будем должны выплачивать начисляемый процент и определенную часть долга”, значит, за время погашения мы выплатим весь долг и проценты, которые начисляли, найдем сумму выплат:
Из условия знаем, что сумма выплат была на больше суммы долга, тогда:
упростим:
заметим, что в скобках арифметическая прогрессия из 9 членов, найдем её сумму:
подставим:
Ответ: 5