Задание 16: Вклады — ЕГЭ по математике

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20%\ по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

Источник: БАНК ЕГЭ

Решение:

Пусть $S$ - сумма долга. Так как в первые $3$ года заёмщик выплачивал только проценты, то сумма выплат составит:

$0,2S+0,2S+0,2S=0,6S$ , умножение на $0,2$ - это поиск начисленного процента.

Так в $4$ -ом и $5$ -ом году были совершены $2$ равные выплаты, обозначим каждую за $x$ .

Рассмотрим, как выглядит долг после начисления процента, $S+0,2S=1,2S$ , значит, умножение на $1,2$ - начисление процента на остаток долга.

В начале $4$ -го года: $1,2S$ В конце $4$ -го года: $1,2S-x$ В начале $5$ -го года: $(1,2S-x)\cdot 1,2$ В конце $5$ -го года: $(1,2S-x)\cdot 1,2-x$ , так как долг был погашен двумя платежами, значит, что остаток в конце $5$ -го года равен $0$ .

$(1,2S-x)\cdot 1,2-x=0\Rightarrow 1,44S-1,2x-x=0\Rightarrow 1,44S=2,2x \Rightarrow x=\frac{1,44S}{2,2}$

При этом необходимо, чтобы общая сумма выплат была меньше $7$ млн, всего выплатили $0,6S+2x<7$

Подставим $x$ : $0,6S+2\cdot\frac{1,44S}{2,2}<7\Rightarrow 0,6S+\frac{14,4S}{11}<7\Rightarrow 6,6S+14,4S<77\Rightarrow 21S<77\Rightarrow S<\frac{77}{21}\Rightarrow S<3\frac{14}{21}$ Так как в условии сказано, что $S$ - целое количество млн, а так же требуют максимальное значение $S$ , значит, $S=3$ .

Ответ: 3