Тип 15 № 12991

$$*\begin{cases} \tfrac{2 - x}{2} > 0\\ \tfrac{2 - x}{2} \neq 1\\ \tfrac{6}{2 + x} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2 - x > 0\\ 2 - x \neq 2\\ 2 + x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 2\\ x \neq 0\\ x > -2 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; 0) \cup (0; 2)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$\log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{6}{2 + x} \geq - 1 \Leftrightarrow \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{6}{2 + x} + 1 \geq 0 \Leftrightarrow \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{6}{2 + x} + \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{2 - x}{2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{6}{2 + x} - \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{2}{2 - x} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\left(\frac{2 - x}{2} - 1\right)\left(\frac{6}{2 + x} - \frac{2}{2 - x} \right) \geq 0 \Leftrightarrow x\left(\frac{12 - 6x - 4 - 2x}{(2 - x)(2 + x)}\right) \leq 0$$ $$\Leftrightarrow \frac{x(1 - x)}{(2 - x)(2 + x)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x(x - 1)}{(x - 2)(2 + x)} \leq 0$$

Получаем: $$x \in (-2; 0] \cup [1; 2)$$

Учитывая ограничения $*$, получаем ответ:

$$x \in (-2; 0) \cup [1; 2)$$

Ответ: $(-2; 0) \cup [1; 2)$