Тип 15 № 12993

$$*\begin{cases} x^2 + 6x + 10 > 0\\ x^2 + 6x + 10 \neq 1\\ 3x + 10 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)^2 + 1 > 0 \quad \text{Всегда}\\ x^2 + 6x + 9 \neq 0\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)^2 \neq 0\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -3\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Rightarrow x \in \left(-\frac{10}{3}; -3\right) \cup \left(-3; +\infty\right)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$(4x + 13)\cdot\log_{x^2 + 6x + 10}(3x + 10) \geq 0$$

По методу рационализации: $$(4x + 13)\cdot(x^2 + 6x + 10 - 1)(3x + 10 - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (4x + 13)(x^2 + 6x + 9)(3x + 9) \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (4x + 13)(x + 3)^2\cdot 3(x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow 3(4x + 13)(x + 3)^3 \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (4x + 13)(x + 3)^3 \geq 0$$

Получаем: $$x \in \left(-\infty;-\frac{13}{4}\right] \cup [-3; +\infty)$$

С учётом ограничения $*$, получаем итоговый ответ: $$x \in \left(-\frac{10}{3}; -\frac{13}{4}\right] \cup \left(-3; +\infty\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{10}{3}; -\frac{13}{4}\right] \cup \left(-3; +\infty\right)$