Тип 15 № 12994

$$*\begin{cases} 2x + 4 > 0\\ 2x + 4 \neq 1\\ x^2 - 3x + 10 > 0 \text{ Всегда} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > -2\\ x \neq -\frac{3}{2}\\ \end{cases} \Rightarrow x \in \left(-2; -\frac{3}{2}\right) \cup \left(-\frac{3}{2}; +\infty\right)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$\log_{2x + 4}(x^2 - 3x + 10) \geq 1 \Leftrightarrow \log_{2x + 4}(x^2 - 3x + 10) - 1 \geq 0 \Leftrightarrow \log_{2x + 4}(x^2 - 3x + 10) - \log_{2x + 4}(2x + 4) \geq 0$$

По методу рационализации: $$(2x + 4 - 1)(x^2 - 3x + 10 - 2x - 4) \geq 0 \Leftrightarrow (2x + 3)(x^2 - 5x + 6) \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (2x + 3)(x - 2)(x - 3) \geq 0$$

Получаем: $$x \in \left[-\frac{3}{2}; 2\right] \cup [3; +\infty)$$

С учётом ограничения $*$, получаем итоговый ответ: $$x \in (-1,5; 2] \cup [3; +\infty)$$

Ответ: $(-1,5; 2] \cup [3; +\infty)$