Тип 15 № 13773

$$(*)\begin{cases} 3^x - 2 > 0\\ \log_{\tfrac{1}{5}}^2(3^x - 2) - \log_{\tfrac{1}{5}}(3^x - 2)^2 + 1 \neq 0 \end{cases}$$

С учётом первого условия системы: $$(*)\begin{cases} 3^x - 2 > 0\\ \log_{\tfrac{1}{5}}^2(3^x - 2) - 2\log_{\tfrac{1}{5}}(3^x - 2) + 1 \neq 0 \end{cases}$$ $$(*)\begin{cases} 3^x - 2 > 0\\ \left(\log_{\tfrac{1}{5}}(3^x - 2) - 1\right)^2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow (*)\begin{cases} 3^x > 3^{\log_32}\\ \log_{\tfrac{1}{5}}(3^x - 2) \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow(*)\begin{cases} x > \log_32\\ x \neq \log_32,2 \end{cases} \Rightarrow(*) \quad x \in (\log_32; \log_32,2) \cup (\log_32,2; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство:

$$\frac{4^x - 3\cdot2^{x + 1} + 5}{\left(\log_{\tfrac{1}{5}}^2(3^x - 2) -1\right)^2} \leq 0$$

C учётом ограничения $(*)$, знак неравенства определяет только числитель дроби: $$4^x - 3\cdot2^{x + 1} + 5 \leq 0 \Leftrightarrow 4^x - 6\cdot2^x + 5 \leq 0$$ $$2^{2x} - 6\cdot2^x + 5 \leq 0$$ Пусть $t = 2^x > 0$ $$t^2 - 6t + 5 \leq 0$$ Заметим, что сумма коэффициентов равна 0. Тогда: $$(t - 5)(t - 1) \leq 0$$

$$\begin{cases} t \geq 1\\ t \leq 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2^x \geq 1 \\ 2^x \leq 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0\\ x \leq \log_25 \end{cases}$$

Пересекая с ограничением $(*)$, получаем итоговый ответ: $$x \in (\log_32; \log_32,2) \cup (\log_32,2; \log_25]$$

Ответ: $(\log_32; \log_32,2) \cup (\log_32,2; \log_25]$