Тип 15 № 13775

$$(*) x + 5 \geq 0 \Rightarrow (*) x \geq -5$$

Преобразуем знаменатель: $$2^{x^2 - 6} - 9\cdot2^{0,5x^2 - 4,5} + 1 = \frac{2^{x^2}}{64} - 9\cdot\frac{2^{0,5x^2}}{\sqrt{2^9}} + 1 = \frac{2^{x^2}}{64} - 9\cdot\left(\frac{2^{x^2}}{2^9}\right)^\frac{1}{2} + 1 =$$ $$= \frac{2^{x^2}}{64} - 9\cdot\frac{\left(2^{x^2}\right)^\frac{1}{2}}{16\sqrt2} + 1$$ Пусть $(2^{x^2})^\frac{1}{2} = t > 0$ $$\frac{t^2}{64} - 9\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1$$ Знак всего выражения зависит только от знаменателя, поэтому при условии $(*)$, неравенство равносильно: $$\frac{t^2}{64} - 9\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1 > 0\Leftrightarrow \sqrt2t^2 - 36t + 64\sqrt2 > 0 \Leftrightarrow t^2 - 18\sqrt2\cdot t + 64 > 0$$ $$D = 648 - 4\cdot1\cdot64 = 392$$ $$\sqrt{D} = 14\sqrt2$$

$$t = \frac{18\sqrt2 + 14\sqrt2}{2} = 16\sqrt2, \quad t = \frac{18\sqrt2 - 14\sqrt2}{2} = 2\sqrt2$$ $$(2^{0,5x^2} - 2\sqrt2)(2^{0,5x^2} - 16\sqrt2) > 0$$ $$(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{3}{2}})(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{9}{2}}) > 0$$ По методу рационализации: $$(0,5x^2 - 1,5)(0,5x^2 - 4,5) > 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt3)(x + \sqrt3)(x - 3)(x + 3) > 0$$

Получаем: $$x \in (-\infty; -3) \cup (-\sqrt3; \sqrt3) \cup (3; +\infty)$$

Пересекая с ограничением $(*)$, получаем ответ: $$x \in [-5; -3) \cup (-\sqrt3; \sqrt3) \cup (3; +\infty)$$

Ответ: $[-5; -3) \cup (-\sqrt3; \sqrt3) \cup (3; +\infty)$