( ∗ ) x 2 − 5 ≥ 0 ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 5 ] ∪ [ 5 ; + ∞ ) (*)
\quad x^2 - 5 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -\sqrt5] \cup [\sqrt5; +\infty) ( ∗ ) x 2 − 5 ≥ 0 ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 5 ] ∪ [ 5 ; + ∞ ) t = x 2 − 5 ≥ 0 t = \sqrt{x^2 - 5} \geq 0 t = x 2 − 5 ≥ 0 t > 3 + 1 1 − t ⇔ − t + 3 + 1 1 − t < 0 ⇔ t 2 − t + 3 − 3 t + 1 1 − t < 0 t > 3 + \frac{1}{1-t} \Leftrightarrow -t + 3 +\frac{1 }{1 - t} < 0 \Leftrightarrow \frac{t^2-t+ 3 -3t + 1}{1 - t} < 0 t > 3 + 1 − t 1 ⇔ − t + 3 + 1 − t 1 < 0 ⇔ 1 − t t 2 − t + 3 − 3 t + 1 < 0 t 2 − 4 t + 4 1 − t < 0 ⇔ ( t − 2 ) 2 1 − t < 0 \frac{t^2 - 4t + 4}{1 - t} < 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 2)^2}{1 - t} < 0 1 − t t 2 − 4 t + 4 < 0 ⇔ 1 − t ( t − 2 ) 2 < 0 { t ≠ 2 1 − t < 0 ⇔ { t ≠ 2 t > 1 ⇔ { x 2 − 5 ≠ 2 x 2 − 5 > 1 ⇔ \begin{cases}
t \neq 2\\
1 - t < 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
t \neq 2\\
t > 1
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
\sqrt{x^2 - 5} \neq 2\\
\sqrt{x^2 - 5} > 1
\end{cases} \Leftrightarrow { t = 2 1 − t < 0 ⇔ { t = 2 t > 1 ⇔ { x 2 − 5 = 2 x 2 − 5 > 1 ⇔ ⇔ { x 2 − 5 ≠ 4 x 2 − 5 > 1 ⇔ { x 2 − 9 ≠ 0 x 2 − 6 > 0 ⇔ { ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≠ 0 ( x − 6 ) ( x + 6 ) > 0 ⇔ \Leftrightarrow \begin{cases}
x^2 - 5 \neq 4\\
x^2 - 5 > 1
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x^2 - 9 \neq 0\\
x^2 - 6 > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
(x - 3)(x + 3) \neq 0\\
(x - \sqrt6)(x + \sqrt6) > 0
\end{cases} \Leftrightarrow ⇔ { x 2 − 5 = 4 x 2 − 5 > 1 ⇔ { x 2 − 9 = 0 x 2 − 6 > 0 ⇔ { ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0 ( x − 6 ) ( x + 6 ) > 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( − 3 ; − 6 ) ∪ ( 6 ; 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) \Leftrightarrow x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -\sqrt6) \cup (\sqrt6; 3) \cup (3; +\infty) ⇔ x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( − 3 ; − 6 ) ∪ ( 6 ; 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ )
Полученное множество решений полностью удовлетворяет условию ( ∗ ) (*) ( ∗ )
Ответ: ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( − 3 ; − 6 ) ∪ ( 6 ; 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) (-\infty; -3) \cup (-3; -\sqrt6) \cup (\sqrt6; 3) \cup (3; +\infty) ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( − 3 ; − 6 ) ∪ ( 6 ; 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ )