Тип 18 № 15337

Второе уравнение системы определено при $a \geq 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $$(|x| - a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 9a^2 - 2y -1 \Leftrightarrow$$ $$(|x| - a^2)^2 + y^2 - 16a^2 = 9a^2 - 2y -1 \Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 + (y + 1)^2 = 25a^2$$ Подставим значение $y + 1$ из второго уравнения системы в первое: $$(|x| - a^2)^2 + (6\sqrt a)^2 = 25a^2 \Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 + 36a = 25a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 = 25a^2 - 36a$$ Проанализируем полученное уравнение. Левая часть уравнения неотрицательна при любых значениях параметра $a \geq 0$ и неизвестной $x$. Тогда уравнение имеет корни (а значит система имеет хотя бы 1 решение), когда правая часть также неотрицательна.

Рассмотрим данные случаи по отдельности:

1. Правая часть равна 0. $25a^2 - 36a = 0$: $$a(25a - 36) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &a = 0\\ &a = \frac{36}{25} \end{aligned}\right.$$ При $a = 0$: $$(|x| - 0^2)^2 = 25\cdot0^2 - 36\cdot0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$y + 1 = 6\cdot\sqrt{0} \Leftrightarrow y = -1$$ Система имеет 1 решение: $(0; -1)$. Значит, значение $a = 0$ не подходит.

При $a = \frac{36}{25}$: $$\left(|x| - \left(\frac{36}{25}\right)^2\right)^2 = 25\cdot\left(\frac{36}{25}\right)^2 - 36\cdot\frac{36}{25} \Leftrightarrow \left(|x| - \left(\frac{36}{25}\right)^2\right)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow |x| = \left(\frac{36}{25}\right)^2 \Rightarrow x = \pm\left(\frac{36}{25}\right)^2$$ $$y + 1 = 6\sqrt{\frac{36}{25}} \Leftrightarrow y = \frac{31}{5}$$ При данном значении параметра $a$, система будет иметь 2 решения: $\left(\frac{31}{25}; \pm\left(\frac{36}{25}\right)^2\right)$

Значит, $a = \frac{36}{25}$ подходит.

1. Правая часть уравнения строго положительна: $25a^2 - 36a > 0$. $$25a^2 - 36a > 0$$ Учитывая, что мы рассматриваем только неотрицательные значения параметра $a$ и значение $a = 0$ мы уже рассмотрели, можно поделить неравенство на $a > 0$ без потери знака: $$25a - 36 > 0 \Leftrightarrow a > \frac{36}{25}$$ При таких значениях параметра $a$, уравнение имеет решения: $$|x| - a^2 = \pm\sqrt{25a^2 - 36a} \Leftrightarrow |x| = a^2 \pm \sqrt{25a^2 - 36a}$$

$|x| = a^2 + \sqrt{25a^2 - 36a}$.

Учитывая условие $a > \frac{36}{25}$, получаем, что правая часть уравнения всегда строго положительна $\Rightarrow$ каждое значение параметра $a$ из промежутка $(\tfrac{36}{25}; +\infty)$ будет давать нам 2 решения системы.

В таком случае, чтобы исходная система имела ровно 2 решения, необходимо чтобы уравнение $$|x| = a^2 - \sqrt{25a^2 - 36a}$$ не имело решений.

Это уравнение не будет иметь решений тогда, когда правая часть уравнения отрицательна: $$a^2 -\sqrt{25a^2 - 36a} < 0 \Leftrightarrow a^2 < \sqrt{25a^2 - 36a} \Leftrightarrow a^4 < 25a^2 - 36a \Leftrightarrow$$ Так как $a > \frac{35}{25}$, мы можем поделить обе части неравенства на $a$ без потери знака: $$\Leftrightarrow a^3 < 25a - 36 \Leftrightarrow a^3 - 25a + 36 < 0$$ Разложим на множители: $$36 \vdots \pm1; \pm2; \pm3; \pm4...$$

Последовательно подставляя делители свободного члена в наше выражение, находим корень $(a - 4)$. Поделив выражение на $a - 4$, в итоге получаем: $$(a - 4)(a^2 + 4a - 9) < 0$$ Разложим на множители вторую скобку: $$a^2 + 4a - 9 = 0$$ $$D = 16 + 36 = 52 = 2\sqrt{13}$$ $$a = \frac{-4 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -2 \pm \sqrt{13}$$ Получаем: $$(a - 4)(a + 2 + \sqrt{13})(a + 2 - \sqrt{13}) < 0$$

Чтобы верно учесть ограничение $a > \frac{36}{25}$, сравним значения $-2 + \sqrt{13}$. Предположим, что $-2 + \sqrt{13} < \frac{36}{25}$: $$-2 + \sqrt{13} < \frac{36}{25} \Leftrightarrow \sqrt{13} < 3 + \frac{11}{25}$$ Возведём в квадрат обе части неравенства: $$13 < 9 + \frac{66}{25} + \frac{121}{625} \Leftrightarrow 4 < \frac{66\cdot25 + 121}{625} \Leftrightarrow 2500 < 1771$$ Это неверное неравенство, значит верно обратное: $-2 + \sqrt{13} > \frac{36}{25}$

Учитывая ограничения $a > \frac{36}{25}$, получаем: $$a \in (\sqrt{13} - 2; 4)$$

Ответ: $a \in (\sqrt{13} - 2; 4) \cup \left\{\frac{36}{25}\right\}$