Системы уравнений/неравенств с параметром

Второе уравнение системы определено при $a \geq 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $$(|x| - a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 9a^2 - 2y -1 \Leftrightarrow$$ $$(|x| - a^2)^2 + y^2 - 16a^2 = 9a^2 - 2y -1 \Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 + (y + 1)^2 = 25a^2$$ Подставим значение $y + 1$ из второго уравнения системы в первое: $$(|x| - a^2)^2 + (6\sqrt a)^2 = 25a^2 \Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 + 36a = 25a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 = 25a^2 - 36a$$ Проанализируем полученное уравнение. Левая часть уравнения неотрицательна при любых значениях параметра $a \geq 0$ и неизвестной $x$. Тогда уравнение имеет корни (а значит система имеет хотя бы 1 решение), когда правая часть также неотрицательна.

Рассмотрим данные случаи по отдельности:

1. Правая часть равна 0. $25a^2 - 36a = 0$: $$a(25a - 36) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &a = 0\\ &a = \frac{36}{25} \end{aligned}\right.$$ При $a = 0$: $$(|x| - 0^2)^2 = 25\cdot0^2 - 36\cdot0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$y + 1 = 6\cdot\sqrt{0} \Leftrightarrow y = -1$$ Система имеет 1 решение: $(0; -1)$. Значит, значение $a = 0$ не подходит.

При $a = \frac{36}{25}$: $$\left(|x| - \left(\frac{36}{25}\right)^2\right)^2 = 25\cdot\left(\frac{36}{25}\right)^2 - 36\cdot\frac{36}{25} \Leftrightarrow \left(|x| - \left(\frac{36}{25}\right)^2\right)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow |x| = \left(\frac{36}{25}\right)^2 \Rightarrow x = \pm\left(\frac{36}{25}\right)^2$$ $$y + 1 = 6\sqrt{\frac{36}{25}} \Leftrightarrow y = \frac{31}{5}$$ При данном значении параметра $a$, система будет иметь 2 решения: $\left(\frac{31}{25}; \pm\left(\frac{36}{25}\right)^2\right)$

Значит, $a = \frac{36}{25}$ подходит.

1. Правая часть уравнения строго положительна: $25a^2 - 36a > 0$. $$25a^2 - 36a > 0$$ Учитывая, что мы рассматриваем только неотрицательные значения параметра $a$ и значение $a = 0$ мы уже рассмотрели, можно поделить неравенство на $a > 0$ без потери знака: $$25a - 36 > 0 \Leftrightarrow a > \frac{36}{25}$$ При таких значениях параметра $a$, уравнение имеет решения: $$|x| - a^2 = \pm\sqrt{25a^2 - 36a} \Leftrightarrow |x| = a^2 \pm \sqrt{25a^2 - 36a}$$

$|x| = a^2 + \sqrt{25a^2 - 36a}$.

Учитывая условие $a > \frac{36}{25}$, получаем, что правая часть уравнения всегда строго положительна $\Rightarrow$ каждое значение параметра $a$ из промежутка $(\tfrac{36}{25}; +\infty)$ будет давать нам 2 решения системы.

В таком случае, чтобы исходная система имела ровно 2 решения, необходимо чтобы уравнение $$|x| = a^2 - \sqrt{25a^2 - 36a}$$ не имело решений.

Это уравнение не будет иметь решений тогда, когда правая часть уравнения отрицательна: $$a^2 -\sqrt{25a^2 - 36a} < 0 \Leftrightarrow a^2 < \sqrt{25a^2 - 36a} \Leftrightarrow a^4 < 25a^2 - 36a \Leftrightarrow$$ Так как $a > \frac{35}{25}$, мы можем поделить обе части неравенства на $a$ без потери знака: $$\Leftrightarrow a^3 < 25a - 36 \Leftrightarrow a^3 - 25a + 36 < 0$$ Разложим на множители: $$36 \vdots \pm1; \pm2; \pm3; \pm4...$$

Последовательно подставляя делители свободного члена в наше выражение, находим корень $(a - 4)$. Поделив выражение на $a - 4$, в итоге получаем: $$(a - 4)(a^2 + 4a - 9) < 0$$ Разложим на множители вторую скобку: $$a^2 + 4a - 9 = 0$$ $$D = 16 + 36 = 52 = 2\sqrt{13}$$ $$a = \frac{-4 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -2 \pm \sqrt{13}$$ Получаем: $$(a - 4)(a + 2 + \sqrt{13})(a + 2 - \sqrt{13}) < 0$$

Чтобы верно учесть ограничение $a > \frac{36}{25}$, сравним значения $-2 + \sqrt{13}$. Предположим, что $-2 + \sqrt{13} < \frac{36}{25}$: $$-2 + \sqrt{13} < \frac{36}{25} \Leftrightarrow \sqrt{13} < 3 + \frac{11}{25}$$ Возведём в квадрат обе части неравенства: $$13 < 9 + \frac{66}{25} + \frac{121}{625} \Leftrightarrow 4 < \frac{66\cdot25 + 121}{625} \Leftrightarrow 2500 < 1771$$ Это неверное неравенство, значит верно обратное: $-2 + \sqrt{13} > \frac{36}{25}$

Учитывая ограничения $a > \frac{36}{25}$, получаем: $$a \in (\sqrt{13} - 2; 4)$$

Ответ: $a \in (\sqrt{13} - 2; 4) \cup \left\{\frac{36}{25}\right\}$

Второе уравнение системы определено при $a \geq 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $$(|x| + a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 4y - 4 \Leftrightarrow$$ $$(|x| + a^2)^2 + y^2 - 16a^2 = 4y - 4 \Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 + (y - 2)^2 = 16a^2$$ Подставим значение $y - 2$ из второго уравнения системы в первое: Из второго уравнения: $0,5y - 1 = \sqrt{6a} \Rightarrow y - 2 = 2\sqrt{6a}$ $$(|x| + a^2)^2 + (2\sqrt{6a})^2 = 16a^2 \Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 + 24a = 16a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 = 16a^2 - 24a$$ Проанализируем полученное уравнение. Левая часть уравнения неотрицательна при любых значениях параметра $a \geq 0$ и неизвестной $x$. Тогда уравнение имеет корни (а значит система имеет хотя бы 1 решение), когда правая часть также неотрицательна.

Рассмотрим данные случаи по отдельности:

1. Правая часть равна 0. $16a^2 - 24a = 0$: $$a(16a - 24) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &a = 0\\ &a = \frac{3}{2} \end{aligned}\right.$$ При $a = 0$: $$(|x| + 0^2)^2 = 16\cdot0^2 - 24\cdot0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$0,5y - 1 = \sqrt{0} \Leftrightarrow y = 2$$ Система имеет 1 решение: $(0; 2)$. Значит, значение $a = 0$ не подходит.

При $a = \frac{3}{2}$: $$\left(|x| + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^2 = 16\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 24\cdot\frac{3}{2} \Leftrightarrow \left(|x| + \frac{9}{4}\right)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow |x| = -\frac{9}{4}$$ Это уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным. Значит, $a = \frac{3}{2}$ не подходит.

1. Правая часть уравнения строго положительна: $16a^2 - 24a > 0$. $$16a^2 - 24a > 0$$ Учитывая, что мы рассматриваем только неотрицательные значения параметра $a$ и значение $a = 0$ мы уже рассмотрели, можно поделить неравенство на $a > 0$ без потери знака: $$16a - 24 > 0 \Leftrightarrow a > \frac{3}{2}$$ При таких значениях параметра $a$, уравнение имеет решения: $$|x| + a^2 = \pm\sqrt{16a^2 - 24a} \Leftrightarrow |x| = -a^2 \pm \sqrt{16a^2 - 24a}$$

$|x| = -a^2 - \sqrt{16a^2 - 24a}$.

Данное уравнение не имеет решений, так как правая часть строго отрицательна.

Тогда, чтобы исходная система имела ровно два различных решения, необходимо чтобы уравнение $$|x| = -a^2 + \sqrt{16a^2 - 24a}$$ имело ровно два решения. Для этого правая часть уравнения должна быть строго положительна.

$$-a^2 + \sqrt{16a^2 - 24a} > 0 \Leftrightarrow \sqrt{16a^2 - 24a} > a^2 \Leftrightarrow 16a^2 - 24a > a^4 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 16a - 24 > a^3 \Leftrightarrow a^3 - 16a + 24 < 0$$ Разложим на множители: $$24\vdots \pm 1, \pm2, \pm3,\pm4, \pm6...$$ Последовательно подставляя делители свободного члена в выражение, находим корень $a = 2$. $$(a - 2)(a^2 + 2a - 12) < 0$$ $$(a - 2)(a + 1 + \sqrt{13})(a + 1 - \sqrt{13}) < 0$$

Сравним числа $\sqrt{13} - 1$ и 2: $$\sqrt{13} - 1 > 2 \Leftrightarrow \sqrt{13} > 3 \Leftrightarrow 13 > 9$$ Это верное неравенство.

Учитывая ограничение $a > \frac{3}{2}$, получаем: $$a \in (2; \sqrt{13} - 1)$$

Ответ: $a \in (2; \sqrt{13} - 1)$

Система из условия равносильна следующей:

$$\left\{ \begin{array}{l} y=-x+a\\ \left\{ \begin{array}{l} y=x^2-2x\\ y=-x^2+2x \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy$, являющихся решением совокупности. Тогда необходимо найти такие $a$, при которых прямая $y=-x+a$ имеет 2 общие точки со множеством $S$. Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y=-x+a$.

Нам подходят положения прямой $y=-x+a$ ниже положения (1) или выше положения (2). Положение (1): прямая $y=-x+a_1$ касается параболы $y=x^2-2x$. Тогда уравнение

$$x^2-2x=-x+a_1$$

$$x^2-x-a_1=0$$ имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D_1=0$$

$$1+4a_1=0$$

$$a_1=-\frac{1}{4}$$

Положение (2): прямая $y=-x+a_2$ касается параболы $y=-x^2+2x$. Тогда уравнение

$$-x^2+2x=-x+a_2$$

$$x^2-3x+a_2=0$$ имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D_2=0$$

$$9-4a_2=0$$

$$a_2=\frac{9}{4}$$

Следовательно, нам подходят значения параметра

$$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{9}{4};+\infty\right).$$

Ответ:

$$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{9}{4};+\infty\right)$$

Исключив $y$ из системы, получим уравнение

$$|x^2-2x|-4x-a=0$$

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x\ge 0\\ a=x^2-6x \end{array} \right.\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x<0\\ a=-x^2-2x \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству $S$, то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений совокупности. Нас просят найти все такие значения $a_0$ параметра $a$, при каждом из которых ровно две точки вида $(x_0;a_0)$, где $x_0\in R$, принадлежат множеству решений $S$, изображенному на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S$.

Видим, что нам подходят все положения горизонтальной прямой $a=a_0$ выше положения, когда горизонтальная прямая проходит через вершину параболы $a=x^2-6x$, то есть через точку $(3;-9)$. Следовательно, нам подходят значения параметра $a>-9$.

Ответ:

$$a\in(-9;+\infty)$$