Тип 18 № 15389

Второе уравнение системы определено при $a \geq 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $$(|x| + a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 4y - 4 \Leftrightarrow$$ $$(|x| + a^2)^2 + y^2 - 16a^2 = 4y - 4 \Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 + (y - 2)^2 = 16a^2$$ Подставим значение $y - 2$ из второго уравнения системы в первое: Из второго уравнения: $0,5y - 1 = \sqrt{6a} \Rightarrow y - 2 = 2\sqrt{6a}$ $$(|x| + a^2)^2 + (2\sqrt{6a})^2 = 16a^2 \Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 + 24a = 16a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 = 16a^2 - 24a$$ Проанализируем полученное уравнение. Левая часть уравнения неотрицательна при любых значениях параметра $a \geq 0$ и неизвестной $x$. Тогда уравнение имеет корни (а значит система имеет хотя бы 1 решение), когда правая часть также неотрицательна.

Рассмотрим данные случаи по отдельности:

1. Правая часть равна 0. $16a^2 - 24a = 0$: $$a(16a - 24) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &a = 0\\ &a = \frac{3}{2} \end{aligned}\right.$$ При $a = 0$: $$(|x| + 0^2)^2 = 16\cdot0^2 - 24\cdot0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$0,5y - 1 = \sqrt{0} \Leftrightarrow y = 2$$ Система имеет 1 решение: $(0; 2)$. Значит, значение $a = 0$ не подходит.

При $a = \frac{3}{2}$: $$\left(|x| + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^2 = 16\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 24\cdot\frac{3}{2} \Leftrightarrow \left(|x| + \frac{9}{4}\right)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow |x| = -\frac{9}{4}$$ Это уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным. Значит, $a = \frac{3}{2}$ не подходит.

1. Правая часть уравнения строго положительна: $16a^2 - 24a > 0$. $$16a^2 - 24a > 0$$ Учитывая, что мы рассматриваем только неотрицательные значения параметра $a$ и значение $a = 0$ мы уже рассмотрели, можно поделить неравенство на $a > 0$ без потери знака: $$16a - 24 > 0 \Leftrightarrow a > \frac{3}{2}$$ При таких значениях параметра $a$, уравнение имеет решения: $$|x| + a^2 = \pm\sqrt{16a^2 - 24a} \Leftrightarrow |x| = -a^2 \pm \sqrt{16a^2 - 24a}$$

$|x| = -a^2 - \sqrt{16a^2 - 24a}$.

Данное уравнение не имеет решений, так как правая часть строго отрицательна.

Тогда, чтобы исходная система имела ровно два различных решения, необходимо чтобы уравнение $$|x| = -a^2 + \sqrt{16a^2 - 24a}$$ имело ровно два решения. Для этого правая часть уравнения должна быть строго положительна.

$$-a^2 + \sqrt{16a^2 - 24a} > 0 \Leftrightarrow \sqrt{16a^2 - 24a} > a^2 \Leftrightarrow 16a^2 - 24a > a^4 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 16a - 24 > a^3 \Leftrightarrow a^3 - 16a + 24 < 0$$ Разложим на множители: $$24\vdots \pm 1, \pm2, \pm3,\pm4, \pm6...$$ Последовательно подставляя делители свободного члена в выражение, находим корень $a = 2$. $$(a - 2)(a^2 + 2a - 12) < 0$$ $$(a - 2)(a + 1 + \sqrt{13})(a + 1 - \sqrt{13}) < 0$$

Сравним числа $\sqrt{13} - 1$ и 2: $$\sqrt{13} - 1 > 2 \Leftrightarrow \sqrt{13} > 3 \Leftrightarrow 13 > 9$$ Это верное неравенство.

Учитывая ограничение $a > \frac{3}{2}$, получаем: $$a \in (2; \sqrt{13} - 1)$$

Ответ: $a \in (2; \sqrt{13} - 1)$