Тип 18 № 15470

$$(*) \quad x^2 - a^2 \geq 0$$

Возведём в квадрат обе части уравнения: $$x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a + 1)x + a \Leftrightarrow 3x^2 - (4a + 1)x + a^2 + a = 0$$

Найдём корни данного квадратного уравнения и выразим их через параметр: $$D = (4a + 1)^2 - 4\cdot3\cdot(a^2 + a) = 16a^2 + 8a + 1 - 12a^2 - 12a = 4a^2- 4a + 1 = (2a - 1)^2$$

$$x = \frac{4a + 1 \pm\sqrt{(2a - 1)^2}}{6}$$ $$x_1 = \frac{4a + 1 +\sqrt{(2a - 1)^2}}{6} = \frac{4a + 1 +2a - 1}{6} = a$$ $$x_2 = \frac{4a + 1 -\sqrt{(2a - 1)^2}}{6} = \frac{4a + 1 -2a + 1}{6} = \frac{2a + 2}{6} = \frac{a + 1}{3}$$

Найдём, при каких значениях $a$ найденные корни являются корнями исходного уравнения на промежутке $[0; 1]$

$x_1$:

Проверяем условие $(*)$ $$a^2 - a^2 \geq 0 \Leftrightarrow 0 \geq 0 \Rightarrow a \in R$$ $$0 \leq a \leq 1 \Rightarrow a \in [0; 1]$$ При $a \in [0;1]$, $x_1$ является корнем уравнения.

$x_2$: $$\left(\frac{a + 1}{3}\right)^2 - a^2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a^2 + 2a + 1}{9} - a^2 \geq 0 |\cdot9$$ $$a^2 + 2a + 1 - 9a^2 \geq 0 \Leftrightarrow8a^2 - 2a - 1 \leq 0 \Leftrightarrow (a + \tfrac{1}{4})(a - \tfrac{1}{2}) \leq 0$$

$$a \in \left[-\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$$ $$0 \leq \frac{a + 1}{3} \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq a + 1 \leq 3 \Leftrightarrow -1 \leq a \leq 2$$ Пересекая данные решения, получаем: $$a \in \left[-\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$$

Проверим совпадение корней: $$a = \frac{a + 1}{3} \Leftrightarrow 3a = a + 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$$

Определим, при каких значениях параметра $a$ исходное уравнение имеет ровно 1 корень:

В точке $a = \frac{1}{2}$ корни совпадают. Значит, при $a = \frac{1}{2}$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 корень.

При $a = 0$ исходное уравнение имеет 2 решения. $$a \in \left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right]$$

Ответ: $\left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right]$