Тип 18 № 15486

$$(*) \quad x^2 + 4x - 8a \geq 0$$

Возведём в квадрат обе части уравнения: $$x^4 - 16x^2 + 64a^2 = (x^2 + 4x)^2 - 16a(x^2 + 4x) +64a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x^4 - 16x^2 + 64a^2 = x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 16ax^2 - 64ax +64a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 8x^3 + 32x^2 - 16ax^2 - 64ax = 0 \Leftrightarrow x^3 + 4x^2 - 2ax^2 - 8ax = 0 \Leftrightarrow x^2(x + 4) -2ax(x + 4) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (x^2 - 2ax)(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x(x - 2a)(x + 4) = 0$$

Откуда получаем: $$\left[\begin{aligned} &x_1 = 0\\ &x_2 = 2a\\ &x_3 = -4 \end{aligned}\right.$$

Найдём, при каких значениях $a$ найденные корни являются корнями исходного уравнения.

$x_1$:

Проверяем условие $(*)$ $$0^2 + 4\cdot0 - 8a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 0$$

При $a \in (-\infty; 0]$, $x_1$ является корнем уравнения.

$x_2$: $$(2a)^2 + 4\cdot2a - 8a \geq 0 \Leftrightarrow4a^2 \geq 0 \Rightarrow a \in R$$ При $a \in R$, $x_2$ является корнем уравнения.

$x_3$: $$(-4)^2 + 4\cdot(-4) -8a \geq 0 \Leftrightarrow16 - 16 - 8a \geq 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0]$$ При $a \in (-\infty; 0]$, $x_3$ является корнем уравнения.

Проверим совпадения корней: $x_1 = x_2$: $$0 = 2a \Rightarrow a = 0$$ При $a = 0$ корни $x_1$ и $x_2$ совпадают.

$x_2 = x_3$: $$2a = -4 \Leftrightarrow a = -2$$ При $a = -2$ корни $x_2$ и $x_3$ совпадают.

Отметим количество решений на оси:

В точке $a = 0$ корни $x_1$ и $x_2$ совпадают. Значит, при $a = 0$ исходное уравнение будет иметь 2 корня.

При $a = -2$ корни $x_2$ и $x_3$ совпадают. Значит, при $a = -2$ исходное уравнение будет иметь 2 корня.

Итак, при $a \in (-\infty; -2)$ – три различных решения.

При $a \in (2;0)$ – три различных решения.

При $a \in (0; +\infty)$ – одно решение.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 0)$