Тип 15 № 15625

$$(*) 4 - x \geq 0 \Rightarrow (*) x \leq 4$$

Преобразуем знаменатель: $$2^{x^2 - 5} - 17\cdot2^{0,5x^2 - 4,5} + 1 = \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\frac{2^{0,5x^2}}{\sqrt{2^9}} + 1 = \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\left(\frac{2^{x^2}}{2^9}\right)^\frac{1}{2} + 1 =$$ $$= \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\frac{\left(2^{x^2}\right)^\frac{1}{2}}{16\sqrt2} + 1$$ Пусть $(2^{x^2})^\frac{1}{2} = t > 0$ $$\frac{t^2}{32} - 17\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1$$ Знак всего выражения зависит только от знаменателя (числитель $\sqrt{4-x} \geq 0$), поэтому при условии $(*)$, неравенство равносильно: $$\frac{t^2}{32} - 17\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1 < 0\Leftrightarrow \sqrt2t^2 - 34t + 32\sqrt2 < 0 \Leftrightarrow t^2 - 17\sqrt2\cdot t + 32 < 0$$ $$D = 578 - 4\cdot1\cdot32 = 450$$ $$\sqrt{D} = 15\sqrt2$$

$$t = \frac{17\sqrt2 + 15\sqrt2}{2} = 16\sqrt2, \quad t = \frac{17\sqrt2 - 15\sqrt2}{2} = \sqrt2$$ $$(2^{0,5x^2} - \sqrt2)(2^{0,5x^2} - 16\sqrt2) < 0$$ $$(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{1}{2}})(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{9}{2}}) < 0$$ По методу рационализации: $$(0,5x^2 - 0,5)(0,5x^2 - 4,5) < 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) < 0$$

Получаем: $$x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$$

Так как исходное неравенство нестрогое ($\leq 0$), то $\sqrt{4-x} = 0$ даёт решение: $x = 4$.

Таким образом, пересекая с ограничением $(*)$, получаем ответ: $$x \in (-3; -1) \cup (1; 3) \cup \{4\}$$

Ответ: $(-3; -1) \cup (1; 3) \cup \{4\}$