Тип 18 № 15654

$$(*) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$$

Преобразуем исходное неравенство: $$(2x + a + 1 + \tg x)^2 - (2x + a - 1- \tg x)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (2x + a + 1 + \tg x - 2x - a + 1 + \tg x)(2x + a + \tg x + 1 + 2x + a - \tg x - 1) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (4x + 2a)(2\tg x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &4x + 2a = 0 \\ &2\tg x + 2 = 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = -\tfrac{a}{2} \\ & \tg x = -1 \end{aligned}\right.$$

Второе уравнение совокупности даёт единственное решение на отрезке $x = -\frac{\pi}{4}$. Первое уравнение даёт одно решение на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, исключая случаи, когда $-\frac{a}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

$$-\frac{\pi}{2} < -\frac{a}{2} < \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \pi < a < -\pi \Rightarrow a \in (-\pi; \pi)$$

Проверим совпадение корней: $$-\frac{\pi}{4} = -\frac{a}{2} \Leftrightarrow a = \frac{\pi}{2}$$

Отметим количество решений $x$ в зависимости от значений параметра $a$:

Тогда исходное уравнение имеет ровно 1 корень на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, при $$a \in (-\infty; -\pi] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -\pi] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty)$