( ∗ ) x 2 − 7 ≥ 0 ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 7 ] ∪ [ 7 ; + ∞ ) (*)
\quad x^2 - 7 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -\sqrt7] \cup [\sqrt7; +\infty) ( ∗ ) x 2 − 7 ≥ 0 ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 7 ] ∪ [ 7 ; + ∞ )
t < 1 + 4 5 − t ⇔ t − 1 − 4 5 − t < 0 t < 1 + \frac{4}{5-t} \Leftrightarrow t - 1 - \frac{4}{5-t} < 0 t < 1 + 5 − t 4 ⇔ t − 1 − 5 − t 4 < 0 ( t − 1 ) ( 5 − t ) − 4 5 − t < 0 \frac{(t-1)(5-t) - 4}{5-t} < 0 5 − t ( t − 1 ) ( 5 − t ) − 4 < 0 ( t − 1 ) ( 5 − t ) = 5 t − t 2 − 5 + t = − t 2 + 6 t − 5 (t-1)(5-t) = 5t - t^2 - 5 + t = -t^2 + 6t - 5 ( t − 1 ) ( 5 − t ) = 5 t − t 2 − 5 + t = − t 2 + 6 t − 5 − t 2 + 6 t − 5 − 4 5 − t < 0 ⇔ − t 2 + 6 t − 9 5 − t < 0 \frac{-t^2 + 6t - 5 - 4}{5-t} < 0 \Leftrightarrow \frac{-t^2 + 6t - 9}{5-t} < 0 5 − t − t 2 + 6 t − 5 − 4 < 0 ⇔ 5 − t − t 2 + 6 t − 9 < 0 t 2 − 6 t + 9 5 − t > 0 ⇔ ( t − 3 ) 2 5 − t > 0 \frac{t^2 - 6t + 9}{5-t} > 0 \Leftrightarrow \frac{(t-3)^2}{5-t} > 0 5 − t t 2 − 6 t + 9 > 0 ⇔ 5 − t ( t − 3 ) 2 > 0
Так как числитель ( t − 3 ) 2 ≥ 0 (t-3)^2 \geq 0 ( t − 3 ) 2 ≥ 0 t = 3 t=3 t = 3 { t ≠ 3 5 − t > 0 ⇔ { x 2 − 7 ≠ 3 x 2 − 7 < 5 ⇔ { x 2 − 7 ≠ 9 x 2 − 7 < 25 ⇔ \begin{cases}
t \neq 3 \\
5 - t > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
\sqrt{x^2 - 7} \neq 3 \\
\sqrt{x^2 - 7} < 5
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x^2 - 7 \neq 9 \\
x^2 - 7 < 25
\end{cases} \Leftrightarrow { t = 3 5 − t > 0 ⇔ { x 2 − 7 = 3 x 2 − 7 < 5 ⇔ { x 2 − 7 = 9 x 2 − 7 < 25 ⇔ ⇔ { x 2 ≠ 16 x 2 < 32 ⇔ { x ≠ ± 4 ( x − 4 2 ) ( x + 4 2 ) < 0 \Leftrightarrow \begin{cases}
x^2 \neq 16 \\
x^2 < 32
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x \neq \pm 4 \\
(x - 4\sqrt2)(x + 4\sqrt2) <0
\end{cases} ⇔ { x 2 = 16 x 2 < 32 ⇔ { x = ± 4 ( x − 4 2 ) ( x + 4 2 ) < 0 x ∈ ( − 4 2 ; − 4 ) ∪ ( − 4 ; 4 ) ∪ ( 4 ; 4 2 ) x \in (-4\sqrt2; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; 4\sqrt2) x ∈ ( − 4 2 ; − 4 ) ∪ ( − 4 ; 4 ) ∪ ( 4 ; 4 2 )
Учитывая условие ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( − 4 2 ; − 4 ) ∪ ( − 4 ; − 7 ] ∪ [ 7 ; 4 ) ∪ ( 4 ; 4 2 ) x \in (-4\sqrt2; -4) \cup (-4; -\sqrt7] \cup[\sqrt7; 4) \cup (4; 4\sqrt2) x ∈ ( − 4 2 ; − 4 ) ∪ ( − 4 ; − 7 ] ∪ [ 7 ; 4 ) ∪ ( 4 ; 4 2 )
Ответ: ( − 4 2 ; − 4 ) ∪ ( − 4 ; − 7 ] ∪ [ 7 ; 4 ) ∪ ( 4 ; 4 2 ) (-4\sqrt2; -4) \cup (-4; -\sqrt7] \cup[\sqrt7; 4) \cup (4; 4\sqrt2) ( − 4 2 ; − 4 ) ∪ ( − 4 ; − 7 ] ∪ [ 7 ; 4 ) ∪ ( 4 ; 4 2 )