Тип 18 № 15762

Условие $\quad$ "все корни уравнения по модулю меньше 1" $\quad$ означает, что все корни должны лежать в интервале $(-1; 1)$.

Рассмотрим 2 случая для функции $y = f(x) = ax^2 + (4 - 2a)x + 1$:

1. Уравнение $y = 0$ линейное и имеет один корень

2. Уравнение $y = 0$ квадратное и все корни лежат в интервале $(-1; 1)$.

3. $a = 0$. Уравнение примет вид: $$4x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{4} \in (-1; 1) \Rightarrow a = 0 \text{ нам подходит}$$

4. Уравнение имеет хотя бы 1 корень, если $D \geq 0$. Нарисуем схему:

2.1) $a > 0$

2.2) $a < 0$

Запишем необходимые условия для таких конфиругаций: $$\begin{cases} D \geq 0\\ \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a> 0\\ y(-1) > 0\\ y(1) > 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ y(-1) < 0\\ y(1) < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Объединяя значение $a = 0$ с решением данной системы, получаем: $$a \in \{0\} \cup [4; 5)$$

Ответ: $\{0\} \cup [4; 5)$